Un algoritmo di ricerca di un sottoinsieme

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Supponiamo di avere un elenco di sottoinsiemi di . Posso eseguire la preelaborazione in questo elenco, se necessario. Dopo questa preelaborazione, mi viene presentato un altro set . Voglio individuare eventuali gruppi con . $\cal X$ $\{1, ..., n\}$ $A \subseteq \{1, ..., n \}$ $B \in \mathcal X$ $B \subseteq A$

L'algoritmo ovvio (senza alcuna preelaborazione) richiede tempo - si prova semplicemente contro ogni separatamente. C'è qualcosa di meglio di questo? $O(n |\cal X|)$ $A$ $B \in \mathcal X$

Se aiuta, puoi supporre che, per ogni , il numero totale di corrispondenze sia limitato da qualcosa come . $A$ $B \in \mathcal X$ $O(1)$

ds.algorithms ds.data-structures

— David Harris
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Questa non è una risposta È un'osservazione semplice ma lunga. Spero sia utile.

La versione decisionale del problema è: contiene un sottoinsieme di ? $\cal X$ $A$

Questo problema è correlato al problema della valutazione di funzioni booleane monotone di variabili. Un sottoinsieme di equivale a una -bitstring, quindi la famiglia è equivalente a una funzione booleana di variabili. Data una funzione , si può definire la funzione meno monotona che non è più grande di , vale a dire $n$ $\{1,\ldots,n\}$ $n$ $\cal X$ $f$ $n$ $f$ $f$ . Il problema originale viene quindi ridotto alla valutazione di . Al contrario, il problema di valutare una funzione booleana monotona può essere ridotto al problema originale, ingenuamente prendendo o scegliendo una che rende più piccolo. $g(y)=(\exists x\subseteq y,\,f(x))$ $g(A)$ $f=g$ $f$ $\cal X$

In pratica i BDD tendono a funzionare bene. Quindi un possibile approccio è costruire il BDD per , derivarne da esso il BDD per e quindi valutare . La dimensione media del BDD per deve essere , perché ci sono molte funzioni booleane monotone . Quindi, in teoria questa è una cattiva soluzione. $f$ $g$ $g$ $g$ $\Omega\left(\binom{n}{n/2}\right)$

Ma (1) potrebbe essere possibile un'analisi migliore e (2) potrebbero esserci delle modifiche a questo approccio che lo rendono migliore. Ad esempio, non ho usato in alcun modo la correlazione tra la dimensione di e la dimensione del BDD di . (Deve esserci una correlazione, ma non so se sia semplice o utilizzabile qui.) $\cal X$ $g$

Per completezza, un semplice algoritmo per calcolare il BDD per dal BDD per è il seguente. Ecco è l'operazione standard o sui BDD. $g$ $f$

m (x ? f_{1} : f_{0}) = x ? (m (f_{0}) \lor m (f_{1})) : m (f_{0})

$m(x?f_1:f_0)=x?(m(f_0)\lor m(f_1)):m(f_0)$

\lor

$\lor$

— Radu GRIGore
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Questo non equivale più o meno al precalcolando la risposta per ciascun sottoinsieme di , memorizzando tutti i risultati nella cache in un albero binario di dimensioni , e poi guardando in alto a destra risultato (nel tempo ) quando ti viene dato ?

{1, 2, . . ., n}

$\{1,2,...,n\}$

2^{n}

$2^n$

O (n)

$O(n)$

A

$A$

— mjqxxxx,

L'uso dello spazio esponenziale per archiviare i dati preelaborati mi sembra un tradimento, sebbene non sia proibito nella domanda. Ma potrei essere di parte nei confronti della Chiesa della peggiore complessità.

— Tsuyoshi Ito,

mjqxxxx e Tsuyoshi: sono d'accordo con entrambi. Ho riscritto il testo in modo che, spero, sia più chiaro che sono d'accordo. :)

— Radu GRIGore il

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Forse puoi usare una tecnica di "recupero delle informazioni": nella fase di preelaborazione, costruisci un indice invertito (nel tuo caso basta un semplice matrice bidimensionale) che mappa un elemento agli insiemi in che lo contengono: . $n \times | {\cal X}|$ $x_i \in \{1,...,n\}$ $\cal X$ $inv(x_i)= \{ X_j \in {\cal X} \; | \; x_i \in X_j \}$

Imposta un array intero di lunghezza. $occ$ $|\cal X|$

Poi per ogni recuperare , e per ogni fare $y_i \in A$ $inv(y_i)$ $X_j \in inv(y_i)$ $occ[j] = occ[j]+1$

Alla fine i set di cui hai bisogno sono quelli per cui . $|X_j|=occ[j]$

Puoi accelerare arbitrariamente il processo (a costo dello spazio esponenziale) indicizzando insieme due o più elementi.

— Marzio De Biasi
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