Abbinamenti perfetti in una scacchiera?

Considera il problema di trovare il numero massimo di cavalieri che possono essere posizionati su una scacchiera senza che due di loro si attacchino l'un l'altro. La risposta è 32: non è troppo difficile trovare una corrispondenza perfetta (il grafico indotto dalle mosse del cavaliere è bipartito e c'è una corrispondenza perfetta per una tavola 4 × 4), che è ovviamente una copertura minima del bordo. Inoltre, non è difficile dimostrare che la risposta è $\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$per unascacchiera$m \times n$ogni volta che$m,n \geq 3$: è sufficiente mostrare gli abbinamenti per$3 \leq m,n \leq 6$e fare un po 'di lavoro di induzione.

D'altra parte, se la scacchiera fosse toroidale e $m, n$ fossero pari, la prova non richiederebbe nemmeno di mostrare una corrispondenza per le piccole scacchiere : la mappa $(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$ ha solo cicli di lunghezza pari, quindi deve esserci una corrispondenza perfetta.

Esiste un equivalente rettangolari scacchiere, cioè esiste un modo semplice per mostrare che per sufficientemente grande c'è sempre un accoppiamento perfetto della scacchiera? Per le tavole di grandi dimensioni, la tavola rettangolare e la tavola toroidale sono quasi equivalenti, nel senso che la frazione dei bordi mancanti va a zero, ma non sono a conoscenza di alcun risultato teorico che garantirebbe un perfetto abbinamento in quel caso.$m, n$

E se invece di saltare in entrambe le direzioni, un cavaliere saltasse ( 2 , 3 ) quadrati in entrambe le direzioni? O, del resto, ( p , q ) quadrati, con p + q dispari e p , q coprime? Se c'è è un modo semplice di provare che la risposta è ⌈ m $(1, 2)$$(2, 3)$$(p, q)$$p+q$$p, q$perm,nsufficientemente grande(diciamo,m,n≥C(p,q)), cheaspetto haC(p,q)?$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m, n$$m, n \geq C(p, q)$$C(p, q)$

La risposta NON è per tutte lemgrandi,nse ad esempiop=6eq=3. Perché? Si noti che a causa dei resti$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$ ora il grafico è l'unione disgiunta (vertice) di tre grafici bipartiti e da ciascuno possiamo selezionare la metà più grande. Ad esempio, se m = n = 100 , in questo modo possiamo posizionare (almeno) 5002 cavalieri. (Questo perché x + $\mod 3$$m=n=100$ ha sei classi che sono in tre coppie, le differenze tra le cardinalità delle coppie è 1 , 1 , 2 ).$x+y \mod 6$$1,1,2$

Non so cosa succede se aggiungiamo la condizione che e q siano numeri primi relativi. (Nota che a parte il 2 divisore questo equivale a p + q e p - q essendo primi primi, in realtà questa è la condizione di cui abbiamo bisogno e che mostra anche che p + q è dispari è necessario.)$p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$