Somma approssimativa di un elenco ordinato

Di recente, ho lavorato sul problema per calcolare la somma approssimativa di un elenco di numeri non negativi ordinati. Per ogni fisso , uno schema di approssimazione temporale è stato derivato in modo tale da fornire una stima per la somma. L'articolo è pubblicato su http://arxiv.org/abs/1112.0520 , che non è stato finalizzato. $\epsilon>0$ $O(\log n)$ $(1+\epsilon)$

Ho cercato lavori esistenti per questo problema, ma ho ricevuto solo alcuni documenti relativi a distanza e li ho citati. Questo problema è stato studiato in precedenza? Se qualcuno conosce qualche ricerca esistente su questo problema, per favore fatemelo sapere. Apprezzerò l'aiuto e aggiornerò le citazioni di conseguenza. Se i risultati sono vecchi, la carta verrà scaricata in un bidone della spazzatura.

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— Bin Fu
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Grazie per aver condiviso il documento! Potresti fornire qualche motivazione perché ti interessa studiare il problema della somma approssimativa per gli elenchi ordinati ? Voglio dire supponendo che un elenco sia ordinato è un presupposto abbastanza forte.

— Dai Le

@DaiLe: presumibilmente perché il presupposto aggiunge un po 'di struttura al problema; cercare di trovare la somma approssimativa di un elenco non ordinato è ovviamente intrattabile perché non si hanno assolutamente informazioni sull'elenco oltre ai numeri specifici che si esaminano.

— Steven Stadnicki,

@Bin: il limite inferiore per l'approssimazione della somma nel caso non del tutto positivo sembra derivare dalla 'cattura' che non esiste un buon modo per approssimare lo zero; ovviamente questo è lo schema di approssimazione standard, ma qui sembrerebbe meglio misurare l'errore in termini di dimensione del componente più grande piuttosto che di dimensione della somma risultante; questo rende solo banali i risultati?

— Steven Stadnicki,

In matematica, vediamo spesso formule per calcolare le somme come f (1) + f (2) +… + f (n), dove f (n) è una funzione. Molte funzioni sono monotone. Ad esempio, f (n) = n ^ k (registro n). È naturale chiedersi se esiste un modo efficace per calcolare questo tipo di somme per le funzioni monotoniche f (.). Quando ho scritto questo articolo, ho avuto la preoccupazione se stavo perdendo tempo a fare qualcosa che potrebbe essere già noto. Questo è il motivo per cui sono venuto su questo sito Web per chiedere aiuto per riferimenti correlati poiché molti professionisti sono qui. Grazie per i commenti Bin Fu

— Bin Fu

@Bin Fu: grazie per la risposta. L'assunto ha un senso!

— Dai Le

Risposte:

Questo problema è risolto nel seguente documento, in cui vengono affrontati principalmente problemi più generali: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/06/integrate/ .

— Sariel Har-Peled
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Dopo aver letto i dettagli della prova del documento del coreset di Har-Peled , ora capisco che il suo metodo implica un algoritmo temporale O (log n) per la somma approssimativa di numeri non negativi ordinati. Il coreset è formato da un sottoinsieme di numeri nell'elenco ordinato e le loro posizioni dipendono solo dalla dimensione dell'elenco n e dal rapporto di approssimazione epsilon. I pesi di tutti i punti nel coreset sono calcolabili in O (log n) time. Quindi, porta un algoritmo di tempo O (log n) per la somma approssimativa di un elenco ordinato sebbene non sia chiaramente rivendicato nel documento. Dato che l'algoritmo è nascosto nella dimostrazione della costruzione del coreset invece dei pretesi teoremi del documento di Har-Peled, non ho visto una simile conclusione subito dopo aver verificato i risultati nel documento.

Ho rivisto il mio articolo eliminando la sezione 4 che contiene un algoritmo O (log n) time. L'articolo di Har-Peled è citato nella versione aggiornata. Il primo algoritmo è ancora mantenuto poiché presenta una complessità incomparabile con il tempo O (log n). Ad esempio, viene eseguito nel tempo O (registro n. Log) quando i numeri nell'elenco ordinato di input sono compresi nell'intervallo da 0 a (registro n) ^ {O (1)}. L'algoritmo si basa su una ricerca della regione quadratica, che è molto diversa dalla costruzione del coreset. Anche i limiti di tempo inferiori sono mantenuti, ma leggermente rivisti.

Ora ho un'idea migliore dei lavori di questa linea. Apprezzo davvero l'aiuto professionale dei colleghi teorici di informatica di questo sito Web, che fornisce un feedback eccellente. Il mio documento rivisto sarà disponibile nello stesso sito di archivio nei prossimi giorni. Accolgo sinceramente ulteriori commenti su riferimenti correlati che potrebbero essere persi.

Bin Fu

— Bin Fu
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Ahem. Quale delle dieci carte di Hares Peled vuoi dire? Anche coreset (con due e) non è uguale al corsetto (con una e). Uno usa il campionamento casuale; l'altro usa ossa di balena.

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E: penso che intenda il documento a cui si fa riferimento nella risposta di Sariel.

— Tsuyoshi Ito,

Forse, ma quando ho pubblicato il mio commento, questa risposta era più alta sulla pagina di quella di Sariel. Ho aggiunto un link.

— Jeffε

La mia versione aggiornata è ora disponibile su arxiv.org/abs/1112.0520 .

— Bin Fu

-3

Il coreset di Har-Peled mostra l'esistenza di un coreset di dimensioni per il problema della somma approssimativa. Questo sembra banale e non implica chiaramente alcun algoritmo di tempo per il problema della somma approssimativa. $\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$

Supponi che . è aggiustato. Per un elenco ordinato , i seguenti punti formano un banale coreset per il problema della somma approssimativa: $\varepsilon > 0$ $0\leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$

$\qquad a_n, \frac{a_n}{1+\varepsilon}, \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^2}, \dots , \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^k}$

per alcuni . $k \in \mathcal{O}\left(\frac{\log n}{\varepsilon}\right)$

Il contributo principale della carta di somma approssimativa è un metodo non banale di tempo per trovare un coreset di dimensioni , che è diverso dalla precedente costruzione. Quindi, porta un algoritmo di tempo . $\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$

Con il coreset sopra , si può fare una ricerca binaria per ogni punto per determinare il suo peso, che è il numero di punti tra e nell'elenco ordinato. Ciò implica un banale algoritmo temporale per il problema della somma approssimativa. $\mathcal{O}(\log n)$ $a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$ $a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$ $a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-(j+1)}$ $\mathcal{O}((\log n)^2)$

— Bin Fu
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Quale delle dieci carte di Hares Peled vuoi dire? Inoltre, coreset ≠ corsetto !

— Jeffε

Questo non dovrebbe essere pubblicato come una risposta perché non risponde affatto alla tua domanda. Sarebbe il migliore se potesse essere pubblicato come commento alla risposta di Sariel, ma è troppo lungo per quello. Lo pubblicherei come aggiornamento alla domanda.

— Tsuyoshi Ito,

Tsuyoshi: Hai ragione. I miei commenti dovrebbero essere inviati al

— Bin Fu il

area commenti anziché area di risposta. Scusate.

— Bin Fu

Non credo che tu capisca il mio documento. Ciò che hai scritto sopra è sia sbagliato, sia non nel mio documento.

— Sariel Har-Peled,