La complessità del problema dell'insieme dominante in sottoclassi specifiche di grafici cordali

Sono interessato alla complessità del problema dell'insieme dominante (DSP) in alcune classi di grafici specifici che sono sottoclassi di grafici cordali .

Un grafico è un grafico di percorso non orientato se è il grafico di intersezione vertice di una famiglia di percorsi in un albero non orientato. Sia UP la classe di grafici di percorso non indirizzati.

Un grafico è un grafico EPT se è il grafico di intersezione dei bordi di una famiglia di percorsi in un albero non orientato. Un grafico EPT potrebbe non essere cordale, ma lasciare che CEPT sia la classe di grafici EPT cordali.

Un grafico è un grafico di percorso diretto (con radice) se è il grafico di intersezione vertice di una famiglia di percorsi diretti in un albero diretto con radice (ovvero tutti gli archi diretti lontano dalla radice). Lascia che RDP sia la classe dei grafici di percorso diretti (con root).

Abbiamo $RDP\subseteq CEPT \subseteq UP\subseteq chordal$

È noto che il DSP è risolvibile a tempo lineare per i grafici in RDP ma NP-completo per i grafici di UP [ Booth and Johnson, 1981 ]

Sono interessato a grafici speciali che corrispondono ai grafici di intersezione vertice di famiglie di percorsi non orientati in alberi simili a bruco di massimo grado 3. Più precisamente, questi "bruchi" sono costruiti da un percorso in cui ogni secondo vertice ha un grado pendente- un vertice collegato a. Chiamiamo questa classe cat-UP.

Inoltre, i miei grafici speciali possono anche essere costruiti come grafici di intersezione dei bordi di alcune famiglie di percorsi non orientati in alberi specifici di massimo grado 3.

Quindi le mie domande sono:

1) La complessità del DSP per i grafici di cat-UP è nota? (si noti che la riduzione di [ Booth and Johnson, 1981 ] produce un albero ospite che è di massimo grado 3, ma abbastanza lontano da un bruco)

2) Qual è la complessità di DSP per i grafici di CEPT? E per i grafici di CEPT che si formano un albero ospite di massimo grado 3? ( questo non è noto a ISGCI )

3) Esistono risultati di complessità per il DSP in una famiglia di grafici strettamente correlata?

Peccato che stia aspettando da tanto tempo senza ricevere risposta. Non conosco le lezioni che hai richiesto, ma conosco alcune classi di grafici correlati e nuove tecniche che puoi provare.

Per prima cosa menzionerò che Steven Chaplick ha svolto un lavoro sulle relative classi di grafi, ha terminato la sua tesi all'inizio di quest'anno, potresti trovare interessante la sua ricerca.

So che alcuni risultati in questa direzione derivano dal mio lavoro Classi di grafici con quartieri strutturati e applicazioni algoritmiche. Questo fornisce una tecnica generale per risolvere vari problemi, incluso il DSP in alcune classi di grafi. Lo facciamo introducendo nuove decomposizioni grafiche (vedi la mia tesi ).

Ad esempio, se ci viene fornito un modello di intersezione di UP in cui l'albero ha il massimo grado d e i percorsi hanno la massima lunghezza s, possiamo risolvere l'insieme dominante in $(d-1)^{3(s-1)}poly(n)$.

Simile se abbiamo un grafico fornito con un modello di intersezione costituito da $0$-bend percorsi in a $k \times n$ griglia (per costante k).

La stessa tecnica potrebbe funzionare per CEPT derivante da un albero host di massimo grado 3, ma ho bisogno di più tempo per capire questa classe. Se hai un link ad alcune caratterizzazioni di questa classe che potrebbero essere d'aiuto.