Formula CNF equivalente più corta

Sia una formula CNF soddisfacente con variabili e clausole . Lasciate essere lo spazio delle soluzioni di . $F_1$ $n$ $m$ $S_{F_1}$ $F_1$

Considera il problema di determinare, dato , un'altra formula CNF con lo stesso insieme di variabili di , con $F_1$ $F_2$ $F_1$ $S_{F_2} = S_{F_1}$ (stesso spazio di soluzione di ), ma con il minor numero di clausole possibile (il l'unico scopo è ridurre al minimo il numero di clausole, quindi quanti letterali ogni clausola può avere non è rilevante). $F_1$

Domanda

Qualcuno ha già studiato questo problema? Ci sono risultati nella letteratura che lo riguardano?

Ad esempio, considera la seguente Formula CNF (ogni riga è una clausola): $F_1$

$x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_5$

e la seguente formula : $F_2$

$x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

entrambi hanno lo stesso spazio di soluzione, ma mentre ha clausole, ne ha solo . $F_1$ $6$ $F_2$ $4$

Infine, considera la seguente formula : $F_3$

$x_2 \lor x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

Lo spazio della soluzione è di nuovo lo stesso, ma con solo clausole. $3$

— Giorgio Camerani
fonte

@tsuyoshi Penso che voglia ottenere una formula CNF composta da un numero minimo di clausole con lo stesso spazio di soluzione

— Tayfun Pay

@TsuyoshiIto: Sì, voglio ridurre al minimo il numero di clausole. Non pongo alcuna restrizione sul numero di letterali che ciascuna clausola può avere.

— Giorgio Camerani,

Per ogni definizione ragionevole di "piccolo", il problema è NP-difficile. Un CNF formula è soddisfacibile se e solo se è non è equivalente alla formula di "False", che ha zero clausole.

— Jeffε

La sezione 6 di citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… menziona che il problema di determinare se esiste una formula CNF equivalente con al massimo un determinato numero di letterali è

completo. Non sono sicuro di capire perché la tua versione che minimizza il numero di clausole sia interessante, poiché questo rientra in un fattore

della dimensione della formula, dove

è il numero di variabili.

Π_{2}^{p}

$\Pi_2^p$

n

$n$

n

$n$

— András Salamon,

Inoltre, un altro risultato recente è rilevante: dx.doi.org/10.1016/j.dam.2011.05.013

— András Salamon,

Risposte:

Il problema di determinare se esiste una formula CNF equivalente con al massimo un determinato numero di letterali è completo. La versione che minimizza il numero di clausole rientra in un fattore della dimensione della formula, dove è il numero di variabili. Vedi la sezione 6 di: $\Pi_2^p$ $n$ $n$

Christopher Umans, Il problema DNF minimo equivalente e gli implicanti più brevi , JCSS 63 (4), 597–611, 2001. doi: 10.1006 / jcss.2001.1775 ( prestampa )

Un risultato recente mostra che calcolare un limite inferiore particolare per la dimensione della formula CNF equivalente più breve (misurata dal numero di clausole, come specificato) è NP-completo. Questo documento afferma anche che il tuo problema di ridurre al minimo il numero di clausole è anche , citando il documento Umans sopra, anche se il motivo per cui questo non è immediatamente ovvio per me. $\Pi^p_2$

Ondřej Čepek, Petr Kučera e Petr Savický, Funzioni booleane con un semplice certificato per complessità CNF , DAM 160 (4–5), 365–382, 2012. doi: 10.1016 / j.dam.2011.05.013

— András Salamon
fonte

Il problema di minimizzazione del circuito è intrattabile (vedere i commenti di seguito). Inoltre, penso che potresti essere interessato alla tecnica che alcuni solutori SAT applicano (almeno in una certa misura) che si chiama preprocessing SAT. Ad esempio, il noto solutore MiniSAT utilizza un minimizzatore CNF SatELite per preelaborare un'istanza. Google Scholar offre molti risultati anche per la "pre-elaborazione sat".

— Juho
fonte

Π_{2}^{p}

$\Pi^p_2$

Σ_{2}^{P}

$\Sigma^P_2$

la principale soluzione standard / nota alla minimizzazione del CNF in EE è l' algoritmo Quine-McCluskey che ci sono molte implementazioni, alcune di dominio pubblico. tuttavia la mia comprensione è che (non menzionato nell'attuale articolo di Wikipedia) la maggior parte si rivolge a euristica e algoritmi avidi per trovare soluzioni esp per formule di grandi dimensioni, cioè non nec. trova la soluzione ottimale esp. per istanze di input di grandi dimensioni.

Quine-MCluskey è una generalizzazione del lavoro con le mappe di Karnough quali diagrammi possono avere successo per piccole istanze.

e nota che possono esserci più soluzioni ottimali in termini di formule equivalenti con le stesse dimensioni (minime) della clausola, questo sarà sottolineato in un buon riferimento sul soggetto. trovare il minimo apparentemente riduce a elencare tutti i primi implicati che possono comportare un enorme esponenziale esplode nella memoria / "spazio" rispetto alla dimensione della formula originale.

— VZN
fonte