Flusso massimo incrementale nei grafici dinamici

Sto cercando un algoritmo veloce per calcolare il flusso massimo nei grafici dinamici. cioè dato un grafico e s , t ∈ V abbiamo il flusso massimo F in G da s a t . Poi nuovo / vecchio nodo u aggiunti / eliminati con i corrispondenti bordi per formare un grafo G 1 . Qual è il flusso massimo nel grafico appena creato? Esiste un modo per impedire il ricalcolo del flusso massimo?$G=(V,E)$$s,t\in V$$F$$G$$s$$t$$u$$G^1$

Qualsiasi preelaborazione che non richiede molto tempo / memoria è apprezzata.

L'idea più semplice è ricalcolare il flusso.

Un'altra idea semplice è come questa, salvare tutti i percorsi di aumento utilizzati nel precedente calcolo del flusso massimo, per l'aggiunta di un vertice , possiamo trovare percorsi semplici (nel grafico della capacità aggiornato dal passaggio precedente) che iniziano dalla sorgente, vanno alla v quindi vanno verso la destinazione, ma il problema è che questo percorso dovrebbe essere semplice, non ho trovato di meglio di O ( n ⋅ m ) per questo caso, per m = | E | . (Nota anche che se fosse solo un percorso, ciò potrebbe essere fatto in O ( n + m ) ma non è così.)$v$$v$$O(n\cdot m)$$m=|E|$$O(n+m)$

Anche per rimuovere il nodo sopra l'idea non funziona.

Inoltre ho già visto documenti come l' approccio incrementale per i bordi , ma sembra che non siano abbastanza buoni in questo caso, è più di per ogni bordo e sembra non sia un'estensione adatta in questo caso (abbiamo solo ricalcolato un flusso). Inoltre attualmente sto usando l' algoritmo di flusso massimo Ford-Fulkerson Se esiste una migliore opzione per gli algoritmi online, è bene saperlo.$O(m)$

L'approccio descritto potrebbe non essere teoricamente ottimale. È solo una semplice soluzione pratica che può funzionare per l'autore. Non posso fornire riferimenti perché ho sempre pensato che fosse un folklore ampiamente conosciuto, ma stranamente nessuno lo ha pubblicato nella risposta. Quindi lo faccio.

Supponiamo di avere una rete non indirizzata . Supponiamo che sia memorizzato in una struttura di dati che consente facili inserimenti / eliminazioni di vertici / archi. A volte useremo la rete residua G f (cioè con capacità aggiornate c f = c - f ).$G=(V,E,c)$$G_f$$c_f = c - f$

La prima parte è come elaborare gli inserimenti / eliminazioni di vertici. È più o meno semplice per gli inserimenti:

1. Aggiungi un nuovo vertice con i bordi corrispondenti alla rete residua.
2. Trova un flusso massimo nella rete residua aggiornata usando un algoritmo maxflow a tua scelta.

Per le cancellazioni le cose sono diventate più complicate. Immaginiamo abbiamo diviso il vertice stiamo per eliminare in 2 metà V i n e v o u t tale che tutti in-archi punti a v i n , tutti fuori-archi va da v o u t e questa nuova vertici sono collegati da un arco di capacità infinita. Poi soppressione v è equivalente alla soppressione dell'arco tra v i n e v o u t . Cosa succederà in questo caso? Indichiamo con f $v$$v_{in}$$v_{out}$$v_{in}$$v_{out}$$v$$v_{in}$$v_{out}$$f^v$il flusso che passa attraverso il vertice . Poi v i n sperimenteranno eccesso di f v unità di flusso e v o u t sperimenterà carenza di f v unità di flusso subito dopo l'eliminazione (le limitazioni del flusso saranno ovviamente rotti). Per mantenere nuovamente i vincoli di flusso dovremmo riorganizzare i flussi, ma vogliamo anche mantenere il valore del flusso originale il più alto possibile. Vediamo prima se possiamo fare il riarrangiamento senza ridurre il flusso totale. Per verificare che trovi un maxflow ~ f v da v i n a v o $v$$v_{in}$$f^v$$v_{out}$$f^v$$\tilde{f^v}$$v_{in}$ nella rete "tagliata" residuo (cioè senza l'arco di collegamento v i n e v o u t ). Dovremmo limitarlo con f v ovviamente. Se capita che sia uguale a f v, siamo fortunati: abbiamo riassegnato il flusso che stava attraversandovin modo tale che il flusso totale non fosse cambiato. Nell'altro caso il flusso totale deve essere ridotto di un eccesso "inutile" diΔ= f v - ~ f v unità. Per fare ciò, collegare temporaneamentese$v_{out}$$v_{in}$$v_{out}$$f^v$$f^v$$v$$\Delta = f^v - \tilde{f^v}$$s$$t$da un arco di capacità infinita ed eseguire di nuovo algoritmo MaxFlow da a v o u t (dovremmo vincolato flusso mediante Δ ). Ciò riparerà la rete residua e farà ritenere i vincoli di flusso, riducendo automaticamente il flusso totale di Δ .$v_{in}$$v_{out}$$\Delta$$\Delta$

La complessità temporale di tali aggiornamenti può dipendere dall'algoritmo maxflow che utilizziamo. I casi peggiori possono essere piuttosto negativi, ma è comunque meglio del ricalcolo totale.

$O(|V|^2|E|)$$O(|E|^2 \log C_{max})$

ok prendendo in considerazione le nuove informazioni ed evitando alcuni difficili falsi start / ref di aringhe rosse (mea culpa), ecco alcuni nuovi ref su questo.

Risoluzione rapida di una sequenza online di problemi di portata massima con estensioni al calcolo Riduzioni minime robuste Doug Altner e Özlem Ergun

questo riferimento considera sequenze online di MFP e "avviamenti a caldo", ovvero basandosi su chg incrementali su un MFP precedente. "Dimostriamo che i nostri algoritmi riducono il tempo di esecuzione di un ordine di grandezza se confrontati con codici simili che utilizzano un solutore MFP black-box. In particolare, mostriamo che il nostro algoritmo per tagli minimi robusti può risolvere istanze in pochi secondi che richiederebbero oltre quattro ore usando un risolutore di flusso massimo in scatola nera. "

avanzamenti su problemi che coinvolgono i flussi massimi Altner, Douglas S., georgia tech

in questa tesi di dottorato del 2008 (pdf scaricabile) l'autore considera il problema di aggiungere in modo incrementale archi che sembra essere "abbastanza vicino" al problema di aggiungere nuovi vertici (con più nuovi archi).

gran parte di questo riferimento riguarda l'eliminazione di parti della rete (tagli / "interdizione") come indicato nella prima parte dell'abstract

vedere esp "IV RISOLUZIONE DELLE SEQUENZE ONLINE DEI MASSIMI FLUSSI...... p63".

p 63 "L'obiettivo di questo capitolo, tuttavia, è convincere il lettore che l'uso ripetitivo di un risolutore di flusso massimo in scatola nera per risolvere un'ampia sequenza di stampanti multifunzione può portare a un numero enorme di calcoli non necessari."

p66 "Nelle applicazioni sopra menzionate, le stampanti multifunzione sono in genere topologicamente simili. Cioè, la stampante multifunzione successiva nella sequenza differisce dalla precedente aggiungendo o rimuovendo un piccolo numero di archi o modificando prevedibilmente le capacità di un set di arco localizzato. , quando si risolvono questi casi, il tempo e lo spazio necessari per archiviare qualsiasi cosa oltre la soluzione al problema precedente sono in genere ingiustificati. "

p67 autore usa anche l'approccio "avvio a caldo" qui. "Una strategia efficace per risolvere rapidamente un'intera sequenza online di problemi di ottimizzazione è quella di sviluppare l'euristica di riaottimizzazione efficiente. A tal fine, sviluppiamo un algoritmo di flusso massimo modificato progettato per efficienti avviamenti a caldo." "

vedi esp p71 che presenta il problema incrementale specifico del new-arc:

Nuovo problema di riaottimizzazione del flusso massimo di nuovi archi (NAMFRP)

l'autore considera i problemi più generali p67

Problema di riaottimizzazione del flusso massimo (MFROP)
Problema di riaottimizzazione dell'arco singolo flusso massimo (MFSAROP)

da alcune ricerche rapide sembra che la versione online sia un'area di ricerca attiva. non menzionate l'area di applicazione che potrebbe aiutare a restringere la ricerca della letteratura. un'opzione è quella di cercare un'area di applicazione in cui c'è l'innovazione più o più recente. quindi c'è qualche applicazione del flusso massimo incrementale nei sistemi di visione e alcuni algoritmi per esso lì; prova i flussi massimi in base alla ricerca incrementale in ampiezza nei laboratori di ricerca Microsoft. parafrasando l'intro di questo documento, apparentemente per i casi di visione l'algoritmo di Boykov e Kolmogorov fa bene e non ci sono controesempi di tempo esponenziale noti, sebbene al di fuori delle applicazioni di visione potrebbe funzionare male. quindi potrebbe valere la pena provare l'algoritmo B&K sui tuoi dati e vedere come si comporta e

sembra che tu stia dicendo che un algoritmo incrementale che è lineare nel numero di spigoli del grafico non è una velocità sufficiente? ma non è abbastanza alta efficienza? con quanti bordi hai a che fare? forse l'approccio potrebbe essere quello di ridurre i costi di attraversamento del grafico se questo è costoso o un fattore significativo (ad es. grafico archiviato in db vs grafico archiviato in memoria)

ecco un articolo interessante che sostiene che mentre l'algoritmo non incrementale per il flusso massimo è in P la versione incrementale è NP completa. "Per quanto ne sappiamo, i nostri risultati sono i primi a trovare un problema P-time la cui versione incrementale è NP completa."

Flusso incrementale di Hartline, Sharp

un'altra possibilità / direzione è l' algoritmo a flusso massimo con etichetta push che è "uno degli algoritmi più efficienti per il flusso massimo" e può avere profili di complessità migliori a seconda dei dati. ad es. come afferma la pagina di Wikipedia

$O(V^3)$$O(V^2 \sqrt E$$O(V \cdot E \cdot log(V^2 / E))$