Grammatica sensibile al contesto per SAT?

Per un classico risultato di Kuroda, la classe di complessità NSPACE [ ]$n$ (nota anche come NLIN-SPACE) è precisamente la classe CSL dei linguaggi sensibili al contesto . Il problema della soddisfacibilità SAT si trova in NSPACE [ ], dal momento che un'ipotesi lineare per una soluzione può essere verificata al massimo con una quantità lineare di spese generali per la contabilità. Ciò significa che SAT deve avere una grammatica sensibile al contesto (CSG).$n$

Qualcuno ha tentato di fornire un CSG per SAT?

Mi rendo conto che molte domande relative ai CSL sono indecidibili (ad esempio decidere se un determinato CSG genera un linguaggio vuoto). Anche dato un CSG per SAT si dovrebbe ancora superare l'ostacolo che decidere di aderire alla lingua data da un CSG è completo in PSPACE. Ma potrebbe essere il caso che il problema dell'appartenenza al CSG che definisce SAT sia in NP, a causa di una struttura speciale della lingua. Ripetendo, per rispondere al commento di MCH: Ma potrebbe essere il caso che il problema dell'appartenenza al CSG che definisce SAT possa essere mostrato in NP a causa di una struttura speciale della grammatica, e non perché sappiamo già che deve essere in NP.

• S.-Y. Kuroda, Classi di lingue e automi a limiti lineari , Informazione e controllo 7 (2) 207–223, 1964. doi: 10.1016 / S0019-9958 (64) 90120-2

Una precisazione:

Il focus qui previsto è la caratteristica speciale della grammatica per SAT che gli consente di essere riconosciuto da una macchina NTIME [poli ( )], piuttosto che dal limite NSPACE [ n ] ⊆ DTIME [ 2 O ( n ) ].$n$$n$$\subseteq$$2^{O(n)}$

La dimostrazione del Teorema 3 nel documento di Landweber del 1963 costruisce un CSG da un automa a limite lineare. (Kuroda ha fornito il contrario, costruendo un automa lineare per qualsiasi CSG.) Tuttavia, la procedura di Landweber non sembra produrre una grammatica per SAT di forma speciale: tutti i riconoscitori NSPACE [ ] sono trattati allo stesso modo generico. In altre parole, non è chiaro il motivo per cui il CSG SAT dovrebbe avere un problema di appartenenza NP, piuttosto che essere completo PSPACE. Speravo in una costruzione più esplicita che utilizza NP-ness di SAT in qualche modo essenziale.$n$

Forse una domanda migliore, più precisa, è se:

1. esiste un automa lineare che riconosce SAT,
2. da cui si può estrarre un CSG,
3. in modo che il linguaggio definito dal CSG sia in NP a causa di alcune caratteristiche della grammatica (e non perché sappiamo già che è in NP)?

Nei successivi cinque decenni, qualcuno ha sicuramente provato a farlo! Dal momento che non riesco a trovare nulla pubblicato su queste linee, sarei interessato a capire perché questo approccio non ha funzionato, o un puntatore al lavoro che mi è sfuggito.

• Peter S. Landweber, Tre teoremi sulla grammatica della struttura delle frasi di tipo 1 , Informazione e controllo 6 (2) 131-136, 1963. doi: 10.1016 / S0019-9958 (63) 90169-4

Sebbene non costruisca direttamente una grammatica sensibile al contesto per SAT, il seguente documento potrebbe far luce.

WC Rounds, Complessità del riconoscimento nelle lingue di livello intermedio , Switching and Automata Theory, 1973, 145-158 http://dx.doi.org/10.1109/SWAT.1973.5

L'articolo di Rounds fornisce un automa pila non deterministico a senso unico (1-NSA) che riconosce SAT, e quindi mostra il problema dell'appartenenza di 1-NSA (e il suo superset proprio, Grammatica indicizzata di Aho) è in generale in NP. In altre parole, SAT come CSL / automi a limiti lineari è speciale nel senso che usa la sua memoria solo come uno stack.