Qual è il punto di chiamare

Qual è la differenza nel chiamare -calculus algebra invece che calcolo? Sollevo questa domanda perché ho letto da qualche parte la riga " -calculus non è un calcolo ma un'algebra" (iirc, attribuito a Dana Scott). Qual è il punto? Grazie.$\lambda$$\lambda$

Un calcolo è un sistema di calcolo basato sulla manipolazione di espressioni simboliche. Un'algebra è un sistema di espressioni simboliche e relazioni tra loro [*]. Cioè, un calcolo è un sistema per capire le risposte e un'algebra è un modo per esprimere le relazioni tra i termini.

Il -calculus è o un calcolo o un'algebra, a seconda che tu voglia pensare alle regole ed come regole di riduzione orientate o equazioni non orientate. Se pensi che le regole siano orientate, hai fissato un ordine di valutazione e le regole ti dicono come prendere un termine e produrre un modulo normale. Se pensi alle regole come non orientate, allora ti danno la relazione di uguaglianza su -terms.β η $\lambda$$\beta$$\eta$$\lambda$

[*] Esiste anche una definizione categorica di algebra, che è una definizione formale un po 'più restrittiva dell'idea informale. A grandi linee, la differenza è che la definizione formale di algebra comprende solo quei sistemi senza legame variabile. Quindi i combinatori SKI formano un'algebra, ma il -calculus no.$\lambda$

Tradizionalmente, un'algebra è un insieme di portanti con operazioni che soddisfano alcune equazioni (si pensi al "gruppo"). Esistono molti modi in cui la nozione può essere generalizzata:

• le algebre multi-ordinate hanno diversi set di supporti. Un esempio potrebbe essere un modulo su un anello , dove vogliamo considerare il tutto come un'unica algebra. Un altro esempio piuttosto sciocco è un grafico diretto, che ha due insiemi di portanti, di spigoli e di vertici, e due operazioni, sorgente e target , che non soddisfano equazioni.R E V s : E → V E → $M$$R$$E$$V$$s : E \to V$$E \to V$

• possono essere ammessi assiomi più generali che non sono solo equazioni. Ad esempio, gli assiomi per un campo sono tutte equazioni ad eccezione di . Un altro esempio è qualcosa come un dominio integrale.$x \neq 0 \implies x \cdot x^{-1} = 1$

• operazioni più generali possono essere consentite, in particolare quelle di infinita arità, o operazioni di ordine superiore che assumono funzioni come argomenti. Un esempio di operazione infinita è la nelle algebre di punto medio di Martin Escardo e Alex Simpson. Se vai lontano in questa direzione, arrivi alle monadi.$M$

In questo senso il -calculus non tipizzato è un'algebra perché è specificato in termini di un set di portanti con alcune operazioni (di ordine superiore) che soddisfano alcune equazioni ( e ).β $\lambda$$\beta$$\eta$

C'è una definizione abbastanza precisa di cosa sia un'algebra nella teoria delle categorie: vedi questo articolo per esempio. Ci sono voluti alcuni anni per capire come una struttura con variabili legate potesse essere compresa nello stesso contesto del termine struttura algebrica comunemente usata in matematica e informatica, e si scopre che il concetto categorico di F-algebre è in grado di unificare il Due. Non sono sicuro degli aspetti storici della soluzione, ma un possibile approccio è rappresentato dalle algebre presheaf introdotte da Fiore, Plotkin e Turi (disponibili qui ) che risolvono la questione e stimolano approcci diversi ma simili, vedi ad esempio Hirshowitz et al. e la sua studentessa di dottorato Julianna Zsido .

$\lambda$

Mentre è vero che la nozione di "calcolo" è meno ben definita della nozione di "algebra", generalmente "calcolo" implica generalmente un processo di calcolo, mentre le algebre hanno schemi di costruzione con teorie equazionali.
Si potrebbe dire che esiste più la sensazione che le algebre "esistano già" come strutture e che stiamo semplicemente scoprendo verità su di esse, piuttosto che usare un metodo per produrre nuove risposte che prima non esistevano.

Se pensi a ciò che Scott stava cercando di realizzare con i domini Scott, la sua affermazione ha un senso: stava cercando di trovare strutture matematiche e algebriche predefinite che avrebbero servito come semantica fissa per LC. Voleva eliminare la sensazione che il significato di un termine fosse qualunque cosa accadesse uscisse da un particolare processo.

Potresti essere interessato a una risposta precedente su una domanda correlata: cosa costituisce la semantica denotazionale?

$\beta$$\eta$$M$$N$

Se Scott avesse mai chiamato lambda calculus una "algebra" (di cui piuttosto dubito), allora avrebbe fatto un punto piuttosto sottile, vale a dire, che puoi pensare al calcolo lambda come avente un significato a priori .

Avrebbe comunque difficoltà a convincere qualsiasi algebrista della sua affermazione, perché non ha equazioni nel calcolo lambda, ha equivalenze (cioè a livello di meta). "Algebra combinatoria", d'altra parte, è perfettamente normale.

Non esiste un calcolo , ma esiste un oggetto matematico ben definito chiamato algebra , sebbene la parola abbia molti usi . Tuttavia, la mia ipotesi è che il nome sia stato dato nel senso di

(...) lo studio astratto dei sistemi numerici e delle operazioni al loro interno.

$\lambda$