Che cos'è l'attivazione GELU?

Stavo esaminando il documento BERT che utilizza GELU (Gaussian Error Linear Unit) che indica l'equazione come che a sua volta è approssimato a

$$GELU(x) = xP(X ≤ x) = xΦ(x).$$ $$0.5x(1 + tanh[\sqrt{ 2/π}(x + 0.044715x^3)])$$

Potresti semplificare l'equazione e spiegare come è stata approssimata.

Funzione GELU

Possiamo espandere la distribuzione cumulativa di$\mathcal{N}(0, 1)$ , ovvero $\Phi(x)$ , come segue:

$$\text{GELU}(x):=x{\Bbb P}(X \le x)=x\Phi(x)=0.5x\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)$$

Nota che questa è una definizione , non un'equazione (o una relazione). Gli autori hanno fornito alcune giustificazioni per questa proposta, ad esempio un'analogia stocastica , sebbene matematicamente, questa è solo una definizione.

Ecco la trama di GELU:

Approssimazione di Tanh

Per questo tipo di approssimazioni numeriche, l'idea chiave è trovare una funzione simile (principalmente basata sull'esperienza), parametrizzarla e adattarla a un insieme di punti della funzione originale.

Sapendo che $\text{erf}(x)$ è molto vicino a $\text{tanh}(x)$

e primo derivato di $\text{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})$coincide con quello di$\text{tanh}(\sqrt{\frac{2}{\pi}}x)$at$x=0$, che è$\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ , procediamo

$$\text{tanh}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+ax^2+bx^3+cx^4+dx^5)\right)$$ (o con più termini) a un insieme di punti$\left(x_i, \text{erf}\left(\frac{x_i}{\sqrt{2}}\right)\right)$.

Ho adattato questa funzione a 20 campioni tra $(-1.5, 1.5)$ ( usando questo sito ), e qui ci sono i coefficienti:

Impostando $a=c=d=0$ , $b$ stato stimato in $0.04495641$ . Con un numero maggiore di campioni da un intervallo più ampio (quel sito ha permesso solo 20), il coefficiente $b$ sarà più vicino allo $0.044715$ della carta . Finalmente arriviamo

$\text{GELU}(x)=x\Phi(x)=0.5x\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)\simeq 0.5x\left(1+\text{tanh}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+0.044715x^3)\right)\right)$

con errore quadratico medio $\sim 10^{-8}$ per $x \in [-10, 10]$ .

Si noti che se non abbiamo utilizzato la relazione tra i primi derivati, il termine $\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ sarebbe stato incluso nei parametri come segue

$$0.5x\left(1+\text{tanh}\left(0.797885x+0.035677x^3\right)\right)$$ che è meno bello (meno analitico, più numerico)!

Utilizzando la parità

Come suggerito da @BookYourLuck , possiamo utilizzare la parità di funzioni per limitare lo spazio dei polinomi in cui cerchiamo. Cioè, poiché $\text{erf}$ è una funzione dispari, cioè $f(-x)=-f(x)$ , e $\text{tanh}$ è anche una funzione dispari, funzione polinomiale $\text{pol}(x)$ all'interno di tanh dovrebbe essere dispari (dovrebbe avere solo poteri dispari di x ) avere erf ( - x ) ≃ tanh ( pol ( - x) ) = tanh ( - pol ($\text{tanh}$$x$

$$\text{erf}(-x)\simeq\text{tanh}(\text{pol}(-x))=\text{tanh}(-\text{pol}(x))=-\text{tanh}(\text{pol}(x))\simeq-\text{erf}(x)$$

In precedenza, siamo stati fortunati a finire con coefficienti (quasi) zero per potenze pari $x^2$$x^4$$0.23x^2$$0x^2$

Approssimazione sigmoidea

Una relazione simile vale tra $\text{erf}(x)$$2\left(\sigma(x)-\frac{1}{2}\right)$$\sim 10^{-4}$$x \in [-10, 10]$

Ecco un codice Python per generare punti dati, adattare le funzioni e calcolare gli errori al quadrato medio:

import math
import numpy as np
import scipy.optimize as optimize


def tahn(xs, a):
    return [math.tanh(math.sqrt(2 / math.pi) * (x + a * x**3)) for x in xs]


def sigmoid(xs, a):
    return [2 * (1 / (1 + math.exp(-a * x)) - 0.5) for x in xs]


print_points = 0
np.random.seed(123)
# xs = [-2, -1, -.9, -.7, 0.6, -.5, -.4, -.3, -0.2, -.1, 0,
#       .1, 0.2, .3, .4, .5, 0.6, .7, .9, 2]
# xs = np.concatenate((np.arange(-1, 1, 0.2), np.arange(-4, 4, 0.8)))
# xs = np.concatenate((np.arange(-2, 2, 0.5), np.arange(-8, 8, 1.6)))
xs = np.arange(-10, 10, 0.001)
erfs = np.array([math.erf(x/math.sqrt(2)) for x in xs])
ys = np.array([0.5 * x * (1 + math.erf(x/math.sqrt(2))) for x in xs])

# Fit tanh and sigmoid curves to erf points
tanh_popt, _ = optimize.curve_fit(tahn, xs, erfs)
print('Tanh fit: a=%5.5f' % tuple(tanh_popt))

sig_popt, _ = optimize.curve_fit(sigmoid, xs, erfs)
print('Sigmoid fit: a=%5.5f' % tuple(sig_popt))

# curves used in https://mycurvefit.com:
# 1. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))
# 2. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))
y_paper_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + 0.044715 * x**3))) for x in xs])
tanh_error_paper = (np.square(ys - y_paper_tanh)).mean()
y_alt_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + tanh_popt[0] * x**3))) for x in xs])
tanh_error_alt = (np.square(ys - y_alt_tanh)).mean()

# curve used in https://mycurvefit.com:
# 1. 2*(1/(1+2.718281828459^(-(a*x))) - 0.5)
y_paper_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-1.702 * x))) for x in xs])
sigmoid_error_paper = (np.square(ys - y_paper_sigmoid)).mean()
y_alt_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-sig_popt[0] * x))) for x in xs])
sigmoid_error_alt = (np.square(ys - y_alt_sigmoid)).mean()

print('Paper tanh error:', tanh_error_paper)
print('Alternative tanh error:', tanh_error_alt)
print('Paper sigmoid error:', sigmoid_error_paper)
print('Alternative sigmoid error:', sigmoid_error_alt)

if print_points == 1:
    print(len(xs))
    for x, erf in zip(xs, erfs):
        print(x, erf)

Produzione:

Tanh fit: a=0.04485
Sigmoid fit: a=1.70099
Paper tanh error: 2.4329173471294176e-08
Alternative tanh error: 2.698034519269613e-08
Paper sigmoid error: 5.6479106346814546e-05
Alternative sigmoid error: 5.704246564663601e-05

Prima nota che

$$\Phi(x) = \frac12 \mathrm{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right) = \frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)\right)$$ $\mathrm{erf}$ $$\mathrm{erf}\left(\frac x {\sqrt2}\right) \approx \tanh\left(\sqrt{\frac2\pi} \left(x + a x^3\right)\right)$$ $a \approx 0.044715$

$x$$[-1, 1]$$x$

$$\tanh(x) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ $$\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x - \frac{x^3}{3}\right) + o(x^3).$$ $$\tanh\left(\sqrt{\frac2\pi} \left(x + a x^3\right)\right) = \sqrt\frac{2}{\pi} \left(x + \left(a-\frac{2}{3\pi}\right)x^3\right) + o(x^3)$$ $$\mathrm{erf}\left(\frac x {\sqrt2}\right) = \sqrt\frac2\pi \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3).$$ $x^3$ $$a \approx 0.04553992412$$ vicino alla carta di 0,044,715 mila$0.044715$.