Modello Solow: stato stazionario v Percorso di crescita equilibrato

Va bene, quindi sto avendo problemi reali a distinguere tra il concetto di stato stazionario e il percorso di crescita equilibrato in questo modello:

$$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$$

Mi è stato chiesto di derivare i valori di stato stazionario per il capitale per lavoratore effettivo:

$$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$$

Oltre al rapporto dello stato stazionario tra capitale e produzione (K / Y):

$$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$$

Ho trovato entrambe queste multa, ma mi è stato anche chiesto di trovare il "valore stazionario del prodotto marginale del capitale, dY / dK". Ecco cosa ho fatto:

$$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$$ $$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$$

Sostituendo con K nello stato stazionario (calcolato quando si risolve lo stato stazionario per il rapporto K / Y sopra):

$$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$$

$$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$$

$$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$$

Innanzitutto devo sapere se questo calcolo per il valore di stato stazionario di MPK è corretto?

In secondo luogo, mi è stato chiesto di disegnare i percorsi temporali del rapporto capitale-prodotto e il prodotto marginale del capitale, per un'economia che converge al suo percorso di crescita equilibrato "dal basso".

Sto riscontrando problemi nel capire esattamente quale sia il percorso di crescita equilibrato, al contrario dello stato stazionario, e come utilizzare i miei calcoli per capire come dovrebbero apparire questi grafici.

Ci scusiamo per il post mastodontico, ogni aiuto è molto apprezzato! Grazie in anticipo.

Questo è quando il tentativo di accuratezza crea confusione e incomprensioni.

In passato, i modelli di crescita non incorporavano il progresso tecnologico e hanno portato a un equilibrio a lungo termine caratterizzato da magnitudini pro capite costanti . Verbalmente, il termine "stato stazionario" sembrava appropriato per descrivere una situazione del genere.

Quindi sono arrivati ​​i modelli di crescita Romer ed endogeni, che hanno spinto anche i modelli più vecchi a iniziare includendo come caratteristica di routine fattori di crescita esogeni (a parte la popolazione). E "improvvisamente", i termini pro capite non sono stati costanti nell'equilibrio di lungo periodo, ma sono cresciuti a un ritmo costante . Inizialmente la letteratura descriveva una situazione come "stato stabile nei tassi di crescita".

Quindi sembra che la professione abbia pensato a qualcosa del tipo "è inesatto usare qui la parola" costante "perché le magnitudini pro capite stanno crescendo. Quello che succede è che tutte le magnitudini crescono a un ritmo equilibrato (cioè allo stesso ritmo, e quindi i loro rapporti rimangono costante). E poiché crescono, seguono un percorso ... "Eureka !: è nato il termine" percorso di crescita equilibrato ".

... Per la frustrazione degli studenti (almeno), che ora devono ricordare che, ad esempio, il "percorso della sella" è effettivamente un percorso nel diagramma delle fasi, ma il "percorso di crescita equilibrato" è solo un punto! (perché per disegnare effettivamente un diagramma di fase e ottenere un buon vecchio equilibrio di lungo periodo, esprimiamo le magnitudini per lavoratore effettivo e queste magnitudini hanno uno stato stazionario tradizionale. Ma continuiamo a chiamarlo "percorso di crescita equilibrato", perché le dimensioni pro capite, che è ciò a cui siamo interessati, nel nostro approccio individualistico), continuano a crescere).

Quindi "percorso di crescita equilibrato" = "stato stazionario di magnitudo per unità di efficienza del lavoro", e immagino che tu possa capire il resto per il tuo diagramma di fase.

Dopo la conversazione con l'utente @denesp ai commenti della mia precedente risposta, devo chiarire quanto segue: il solito dispositivo grafico che usiamo in relazione al modello di crescita di Solow di base (vedi ad esempio qui , figura 2) non è un diagramma di fase, poiché ragionevolmente chiamiamo "diagrammi di fase" quelli che contengono loci a variazione zero, identificandone i punti di attraversamento come punti fissi di un sistema dinamico ed esaminandone le proprietà di stabilità. E questo non è ciò che facciamo per il modello Solow. Quindi è stato un uso incauto della terminologia da parte mia.

Tuttavia, possiamo disegnare un "diagramma semifase" per il modello di crescita di Solow, nello spazio . Comprendendo i simboli come "per unità di efficienza del lavoro" abbiamo il sistema di equazioni differenziali (mentre )y = f ( k $(y,k)$$y=f(k)$

$$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$$

$$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$$ Scrivendo l'equazione a variazione zero come una disuguaglianza debole per mostrare anche le tendenze dinamiche, abbiamo

$$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$$

$$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$$

Quindi questo sistema fornisce un singolo locus a variazione zero, una linea retta. Nessun punto di attraversamento per identificare un punto fisso Cosa possiamo fare? Disegna anche la funzione di produzione nel diagramma, poiché, in realtà, lo spazio è unidimensionale, non un'area, ma una linea. Quindi otteniamo$(y,k)$

Le frecce verticali / orizzontali che indicano le tendenze dinamiche provengono correttamente dalle disuguaglianze deboli sopra (sia che tendono a crescere quando al di sopra del locus a variazione zero). Quindi, poiché e sono costretti a spostarsi sulla linea tratteggiata (che è la funzione di produzione), ne consegue che si spostano verso il loro punto fisso, indipendentemente da dove iniziamo. Qui il grafico della funzione di produzione rappresenta essenzialmente il percorso verso l'equilibrio di lungo periodo, poiché la convergenza è monotona.$y$$k$$y$$k$