Media e linearità condizionali

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La media condizionale di data è: Qual è la relazione con il modello lineare? Ho letto da qualche parte che quando X e sono normali (le loro distribuzioni marginali), allora la media condizionata di diventa una funzione lineare di . Come posso vederlo? $Y$ $X$

E [Y | X] = \int y f (y | x) d y

$E[Y|X]=\int yf(y|x)dy$

Y

$Y$

Y

$Y$

X

$X$

regression

— Ching
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Se

e

sono indipendenti, la tua richiesta è chiaramente falsa, quindi immagino che tu abbia omesso alcune condizioni.

X

$X$

Y

$Y$

— Giskard,

Se X e Y sono indipendenti, Y diventerebbe una funzione costante (semplicemente la media di Y) ... Sto pensando a casi non degeneri ... ma grazie

— ChinG

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Y

$Y$

Y

$Y$

E [Y | X]

$E[Y|X]$

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X | (Y = y) = N (μ_{x} + ρ \frac{σ_{x}}{σ_{y}} (y - μ_{y}), (1 - ρ)^{2} σ_{x}^{2})

$X | (Y = y) = N(\mu_x + \rho \frac{\sigma_x}{\sigma_y}(y - \mu_y), (1-\rho)^2 \sigma^2_x )$

$E[X|Y = y] = \mu_x + \rho \frac{\sigma_x}{\sigma_y}(y - \mu_y) = (\mu_x - \mu_y (\rho \frac{\sigma_x}{\sigma_y})) + (\rho \frac{\sigma_x}{\sigma_y})y$ $y$

E [Y | X = x] = (μ_{y} - μ_{x} (ρ \frac{σ_{y}}{σ_{x}})) + (ρ \frac{σ_{y}}{σ_{x}}) x

$E[Y|X = x] = (\mu_y - \mu_x (\rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x})) + (\rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x})x$

x

$x$

— BKay
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Grazie mille..come hai fatto il primo passo? È una proprietà delle normali distribuzioni?

— ChinG

In effetti dalla tua equazione, si può chiaramente vedere che il coefficiente è semplicemente il cov (x, y) / var (x). Grazie!

— ChinG

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È un'espressione ben nota ma l'ho verificato sulla pagina di Wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution

— BKay

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$(Y,X)$ $Y$ $X$ $X$ $Y$

$t$

— Alecos Papadopoulos
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Grazie mille per la tua risposta. Perché allora, anche quando non abbiamo assolutamente alcun motivo per credere che Y e X abbiano normali comuni o normali marginali, restiamo fedeli alla regressione lineare?

— ChinG