Offerte casuali ottimali

Questa domanda viene da questo sito Web che sfoglio spesso.

Due giocatori partecipano a un nuovo hot game chiamato "Numero più alto di vittorie". I due vanno in cabine separate e ognuno preme un pulsante e sullo schermo appare un numero casuale compreso tra zero e uno. (A questo punto, nessuno dei due conosce il numero dell'altro, ma sa che i numeri sono scelti da una distribuzione uniforme standard.) Possono scegliere di mantenere quel primo numero o di premere nuovamente il pulsante per scartare il primo numero e ottenere un secondo numero casuale, che devono conservare. Quindi escono dalle loro cabine e vedono il numero finale per ogni giocatore sul muro. Il sontuoso gran premio - un caso pieno di lingotti d'oro - viene assegnato al giocatore che ha mantenuto il numero più alto. Quale numero è il limite ottimale per i giocatori di scartare il loro primo numero e sceglierne un altro? In altre parole, entro quale intervallo dovrebbero scegliere di mantenere il primo numero,

Questo è un problema di asta molto strano con i giocatori simmetrici (presumo anche che i giocatori siano neutrali al rischio) o un gioco di lotterie / teoria dei giochi molto strano.

Come affronteresti matematicamente questa domanda e quale risposta otterrai? Non c'è alcun premio per me ottenere la risposta giusta all'enigma del sito, sono solo curioso. La mia intuizione mi dice che il cutoff ottimale è 0,5, dal momento che hai una probabilità del 50-50 di essere superiore o inferiore al numero del tuo avversario, indipendentemente dal fatto che lui o lei ripeta il loro numero casuale o no, ma non ne sono sicuro.

microeconomics game-theory auctions

— Cavalleria Kitsune
fonte

Non penso che la neutralità al rischio abbia nulla a che fare con questo, i giocatori semplicemente cercano di massimizzare la loro probabilità di vincere. I payoff sono binari, non ci sono esiti medi sicuri.

— Giskard

@denesp Potresti essere avverso al rischio, nel senso che se dovessi disegnare 0,46, potresti non voler ridisegnare anche se hai maggiori possibilità di ottenere un numero migliore di uno peggiore.

— Cavalleria Kitsune

@KitsuneCavalry Capisco quello che stai dicendo, ma sarebbe una nozione "comportamentale" di avversione al rischio, poiché è definita su un passaggio intermedio piuttosto che sui risultati finali.

— Shane

@Shane Certo, ti sento. E comunque non sono troppo preoccupato.

— Cavalleria Kitsune

Risposte:

Innanzitutto mostrerò che il punto di taglio 0,5 (o ) non funziona come un equilibrio simmetrico, quindi puoi decidere tu stesso se vuoi pensare al problema o leggere la risposta completa . $\frac{1}{2}$

Indichiamo i punti di con . Supponiamo che entrambi i giocatori utilizzino la strategia . Indichiamo il numero di giocatore di e rispettivamente e e il loro potenziale secondo numero da e . Supponiamo che . Mantenendo la probabilità che il giocatore vinca sia Questo significa anche che è $c_x,c_y$ $c = \frac{1}{2}$ $x$ $y$ $x_1$ $y_1$ $x_2$ $y_2$ $x_1 = \frac{2}{3}$ $x$

P (\frac{1}{2} \leq y_{1} < \frac{2}{3}) + P (y_{1} < \frac{1}{2}) \cdot P (y_{2} < \frac{2}{3}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} .

$P\left(\frac{1}{2} \leq y_1 < \frac{2}{3} \right) + P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.$

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ la mediana di questa distribuzione .

Supponiamo ora . Mantenendo la probabilità che il giocatore vinca sia Ma se scartasse ha probabilità di vincita. quindi mantenere (e i suoi dintorni) non è ottimale, quindi non può essere una mossa di equilibrio. $x_1 = \frac{1}{2}$ $x$

P (y_{1} < \frac{1}{2}) \cdot P (y_{2} < \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

x_{1} = \frac{1}{2}

$x_1 = \frac{1}{2}$

P (y_{1} < \frac{1}{2}) \cdot P (x_{2} > y_{2}) + P (y_{1} \geq \frac{1}{2}) \cdot P (x_{2} > y_{1}) = \frac{3}{8}

$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_2\bigg) + P\left(y_1 \geq \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_1\bigg) = \frac{3}{8}$

\frac{3}{8} > \frac{1}{4}

$\frac{3}{8} > \frac{1}{4}$

x_{1} = \frac{1}{2}

$x_1 = \frac{1}{2}$

AVVISO SPOILER

Se il giocatore ha un cut-off e il giocatore pesca e mantiene la probabilità che il giocatore vinca sia Se il giocatore dove scartare la probabilità di vincere è Supponiamo che ci sia un simmetrico equilibrio, ovvero . (Non penso che esistano altri equilibri ma non l'ho provato.) $y$ $c_y$ $x$ $x_1 = c_y$ $x$

P (y_{1} < c_{y}) \cdot P (y_{2} < c_{y}) = c_{y} \cdot c_{y} = c_{y}^{2} .

$P(y_1 < c_y) \cdot P(y_2 < c_y ) = c_y \cdot c_y = c_y^2.$

x

$x$

x_{1}

$x_1$

\begin{array}{rcl} P (y_{1} \geq c_{y}) \cdot P (x_{2} > y_{1}) + P (y_{1} < c_{y}) \cdot P (x_{2} > y_{2}) & = & (1 - c_{y}) \cdot (1 - \frac{1 + c_{y}}{2}) + c_{y} \cdot \frac{1}{2} \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(y_1 \geq c_y) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c_y) \cdot P(x_2 > y_2) & = & (1 - c_y) \cdot \left(1- \frac{1 + c_y}{2} \right) + c_y \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

c_{x} = c_{y} = c

$c_x = c_y = c$

Poiché la probabilità di vincita è continua nel valore di , il valore di cut-off è tale che se la probabilità di vincita è uguale quando viene mantenuto e quando viene scartato. Ciò significa che

x_{1}

$x_1$

c

$c$

x_{1} = c

$x_1 = c$

x_{1}

$x_1$

\begin{array}{rcl} P (y_{1} < c) \cdot P (y_{2} < c) & = & P (y_{1} \geq c) \cdot P (x_{2} > y_{1}) + P (y_{1} < c) \cdot P (x_{2} > y_{2}) \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot (1 - \frac{1 + c}{2}) + c \cdot \frac{1}{2} \\ c^{2} & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^{2}}{2} + \frac{c}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot c^{2} + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(y_1 < c) \cdot P(y_2 < c) & = & P(y_1 \geq c) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c) \cdot P(x_2 > y_2) \\ \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot \left(1 - \frac{1+c}{2}\right) + c \cdot \frac{1}{2} \\ \\ c^2 & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^2}{2} + \frac{c}{2} \\ \\ \frac{1}{2} \cdot c^2 + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2}. \end{eqnarray*}$

— Giskard
fonte

Qualcuno ha fatto una tua derivazione simile a te e ha fatto questo calcolo su Wolfram per ricontrollarlo: tinyurl.com/j9xey5t Quindi vado avanti e dico che sembra giusto. Ora, se risolvi la forma generale di questo gioco, ti darò la risposta migliore: P Kidding ~ (Anche se sarebbe interessante vedere come cambia il gioco con più possibilità di ripetere il rilancio.) Il tuo cutoff modificato significa che entrambi i giocatori hanno 50 % di vincita o pensi ancora che ci sia un errore nella tua risposta?

— Cavalleria Kitsune

@KitsuneCavalry Penso che accettarlo sia stato un po 'prematuro, ma per fortuna il calcolo è corretto e il mio ragionamento sul 50% era sbagliato. Il cut-off è così alto che il disegno è "fortunato" e quindi hai una probabilità superiore al 50% di vincere se lo disegni. Prima del sorteggio hai esattamente il 50%.

— Giskard,

Se conta qualcosa, il sito che ha dato la domanda ha dato la risposta. L'hai preso con i soldi. Sento come un vincitore oggi. Hai guadagnato B)

— Cavalleria Kitsune

Supponiamo che la persona 1 scelga un cutoff di e la persona 2 scelga un cutoff di , con . Sia la probabilità che il numero finale della persona 1 non sia maggiore di . uguale a se e contrario. Definire modo simile. Ora traccia contro su un diagramma parametrico per . Il risultato è tre segmenti di linea: $c_1$ $c_2$ $c_2\ge c_1$ $p_1(x)$ $x$ $p_1(x)$ $c_1x$ $x<c_1$ $c_1x+x-c_1$ $p_2(x)$ $p_2(x)$ $p_1(x)$ $0\le x\le1$

Uno da a , corrispondente a ; $(0,0)$ $(c_1^2,c_1c_2)$ $0\le x\le c_1$
Uno da a , corrispondente a ; $(c_1^2,c_1c_2)$ $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$ $c_1\le x\le c_2$
Uno da a , corrispondente a . $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$ $(1,1)$ $c_2\le x\le1$

Questi tre segmenti di linea dividono il quadrato dell'unità in due parti. L'area della parte sotto il grafico è la probabilità che la persona 1 abbia il numero più alto. Alcune geometrie mostrano che quest'area è . Perché ci sia un equilibrio stabile, entrambi i derivati parziali di questo devono essere zero, cioè $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(c_2-c_1)(c_1c_2+c_2-1)$

1 - c_{2} - 2 c_{1} c_{2} + c_{2}^{2} = 0 - 1 - c_{1} + 2 c_{2} - c_{1}^{2} + 2 c_{1} c_{2} = 0

$1-c_2-2c_1c_2+c_2^2=0\\-1-c_1+2c_2-c_1^2+2c_1c_2=0$

L'aggiunta delle equazioni mostra che , che è possibile solo se . Sostituendo nuovamente una delle equazioni, , quindi l'unico equilibrio stabile è a . $(c_2-c_1)(1+c_1+c_2)=0$ $c_1=c_2$ $1-c_1-c_1^2=0$ $c_1=c_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

— f ''
fonte

Questa è un'ottima risposta, ma perché definisci l'equilibrio un equilibrio stabile?

— Giskard,

@denesp Immagino sia ridondante.

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