Condizioni del primo ordine per l'ottimizzazione del profitto nel settore del gioco d'azzardo

Sto lavorando a un modello di percentuali di pagamento ottimali nel settore del gioco d'azzardo.

Poiché il prezzo nominale di un biglietto da $ 1 è sempre $ 1, utilizziamo una strategia di prezzo efficace in cui Q = $ 1 nei premi vinti. Se un gioco paga il 50%, il prezzo effettivo è di $ 2, poiché è quello che dovrebbe essere speso per vincere $ 1 previsti in premi. Abbastanza semplice, vero?

Bene, ho incontrato questa nota a piè di pagina in alcune ricerche e non riesco a capire come siano arrivati ​​alla Condizione del Primo Ordine per l'ottimizzazione del profitto dalla prima equazione:

"Consenti a $C(Q)$ rappresentare i costi operativi in ​​funzione delle unità quantitative, in cui un'unità quantitativa è definita come un dollaro nel valore atteso dei premi.

Gli utili netti dell'agenzia della lotteria sono dati da

$$N = PQ - Q - C(Q)$$

dove è il prezzo addebitato per un'unità quantitativa.$P$

È possibile scrivere la condizione di primo ordine per la massimizzazione del profitto

$$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1]$$

Se i costi operativi marginali sono il percento delle vendite e il tasso di pagamento è del percento, abbiamo e , il che implica che l'elasticità della domanda al massimo profitto sia .50 P = 2 C ′ = .12 - $6$$50$$P = 2$$C' = .12$$-2.3$

Affinché un aumento del tasso di pagamento aumenti i profitti, deve superare in valore assoluto. "$E_{PQ}$$2.3$

- [Citation] Clotfelter, Charles T e Philip J Cook. "Sull'economia delle lotterie statali". Journal of Economic Perspectives: 105-19.

Nell'equazione FOC, è l'elasticità effettiva del prezzo della domanda. Ciò si trova normalmente prendendo la derivata di rispetto a nella prima equazione. P $-E_{PQ}$$P$$Q$

Come sono finiti dove hanno fatto? Deve esserci qualcosa che mi manca.

Ho difficoltà a capire come è stata raggiunta quella particolare Condizione del Primo Ordine, sia che fosse il risultato di alcuni processi derivati ​​sull'equazione delle Entrate Nette, sia che si tratti semplicemente di una condizione esterna.

Grazie!

$11$$P$$P$$Q$$Q$$P$

$$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P$$

e ci aspettiamo che sia negativo (un prezzo più elevato significa un tasso di pagamento più basso che porta a una minore domanda per la misura quantitativa qui, cioè meno "domanda di premi").

$$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$$

La condizione del primo ordine è

$$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$$

Moltiplicare per :$P/Q$

$$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$$

$$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$$

$$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$$

Questo ha senso. Abbiamo inserito i valori presentati nel riferimento

$$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27$$

che è molto vicino al valore risultante dall'equazione presentata dagli autori. Non sono stato in grado, con qualsiasi manipolazione algebrica che ho provato, di replicare la loro formula, ma eq è corretto in ogni caso. Se si verifica una riconciliazione, aggiornerò.$(2)$