Utilità quasilineare: l'ottimizzazione di Pareto implica la massimizzazione totale dell'utilità?

Ho letto che se abbiamo un'utilità quasilineare per tutti i consumatori, qualsiasi allocazione ottimale di pareto massimizza la somma dei livelli di utilità di tutti i consumatori. Questo è:

$\textbf{What we know:}$

1) u^{i} (m^{i}, x^{i}) = m^{i} + ϕ^{i} (x^{i}) \forall i = 1, . . ., I

$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$

2) ϕ^{i} () is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)

$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$

3) An allocation, x satisfies \neg \exists \hat{x} s . t . {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) \geq m^{i} + ϕ (x^{i}) \forall i

$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$

and {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) > m^{i} + ϕ (x^{i}) for some i

$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$

$\textbf{What to show:}$

x solves m a x \sum_{i = 1}^{I} m^{i} + ϕ^{i} (x^{i})

$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$

Qualcuno può fornire una prova di questo? Qualsiasi aiuto sarebbe molto apprezzato!

$\textbf{Edit:}\,$ Non so se questa è la strada giusta, ma dalla rigida proprietà crescente di $\phi(\,)$ , le preferenze soddisfano la non sazietà locale, il che implica che soddisfano il primo teorema del benessere. Ora, se potessi capire se tutte le allocazioni ottimali del pareto sono equilibri competitivi con utilità quasilineare, potrei essere su qualcosa!

microeconomics pareto-efficiency proof

— DornerA
fonte

Sei sicuro che

m^{i}

$m^i$ sotto

{\hat{x}}^{i}

$\hat x^i$ equivale a

m^{i}

$m^i$ sotto

x^{i}

$x^i$ ? Sembra che manchi un vincolo di budget / risorse. E con ciò, dovresti essere in grado di ottenere ciò che vuoi sommando le disuguaglianze in (3)

i

$i$ .

— Herr K.

@HerrK. Questo è un punto eccellente e un errore piuttosto imbarazzante da parte mia, lo cambierò

— DornerA

Ci sono proprietà per la funzione di X? Ad esempio, se è strettamente crescente ma concavo, l'allocazione PO in cui un agente riceve la dotazione totale dovrebbe produrre un'utilità totale inferiore che divide tale allocazione uniformemente tra due agenti.

— 123

@ 123 non ci sono altre ipotesi fatte

ϕ^{i} (\frac{}{})

$\phi^i(\frac{}{})$ rispetto a quelli sopra elencati, sfortunatamente

— DornerA

Risposte:

Modifica: le custodie Edge fanno schifo; vedi commenti. Vedi anche MWG capitolo 10 sezione C, D.

supporre $(\vec x^*, \vec m^*)$ risolve

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

ma Pareto non è ottimale.

\begin{aligned} ⟹ \exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. & u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) \geq u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) \forall i = 1, \dots, I \\ u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) > u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) for some i \end{aligned}

$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$

⟹ \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$

che è una contraddizione. Se abbiamo una soluzione al problema di massimizzazione dell'utilità, deve essere ottimale di Pareto.

(Si noti che questo viene dalle proprietà continue e crescenti di ) $\phi(\cdot)$

Supponiamo che sia un'allocazione ottimale di Pareto fattibile, ma non risolva $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

Poiché trattiamo come numeraire e è in aumento, sappiamo che è localmente non saziato. L'assegnazione di Pareto dovrebbe essere fattibile. $m_i$ $\phi_i(\cdot)$ $u_i(\cdot)$

\exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*}) ⟹ \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$

Se questo è vero perché questa allocazione alternativa dà semplicemente a un individuo più , per tutto il resto uguale, allora l'allocazione alternativa è impossibile. Quindi avremmo una contraddizione. $x$

Se questo è vero perché nell'allocazione alternativa, a qualcun altro viene assegnato più e solo un'altra persona viene allocata di meno, l'allocazione originale non sarebbe Pareto ottimale. Supponiamo che lo fosse. Se hai preso l'allocazione originale e hai spostato nel modo della nuova allocazione, allora avresti bisogno di uno scambio corrispondente nel bene numerico, , per mantenere chiunque sta perdendo almeno allo stesso livello di utilità. Ma i commerci solo nel bene numerico non possono mai cambiare l'utilità aggregata sommata . Dall'allocazione originale, se puoi scambiare con $x$ $x$ $m$ $x$ $m$ $x$ e rendere qualcuno migliore senza far del male a nessuno, non eri in un Pareto ottimale, e se non puoi scambiare con per migliorare qualcuno, non puoi aumentare l'utilità aggregata sommata, il che significa che l'allocazione originale era un soluzione al problema di massimizzazione. $m$ $x$

Questa logica si applica indipendentemente da come riorganizzi tra più persone. $x$

$\square$

— Cavalleria Kitsune
fonte

Vedo che l'OP ha accettato questa risposta, ma ciò non dimostra la sua effettiva proposta. OP afferma che qualsiasi allocazione PO risolve il problema di massimizzazione dato. Questa dimostrazione mostra che una soluzione al problema della massimizzazione è PO. Tuttavia, questo risultato deriva immediatamente dal fatto che la funzione di utilità chiarisce che le preferenze soddisfano la non sazietà locale. E sappiamo che non esiste necessariamente una biiezione tra i punti CE e PO. La proposizione originale è probabilmente falsa, a seconda delle restrizioni poste sulla funzione di X. (Usare il telefono così difficile da usare LaTex - scusa.)

— 123

Non penso che la proposta sia vera negli ambienti standard di pura economia di scambio. Ecco il contro esempio: economics.stackexchange.com/a/15146/11824

— Amit

@Amit Penso che tu abbia ragione. Tuttavia, l'affermazione sembra contenere la condizione aggiunta che l'allocazione PO sia tale che per tutti consumatori : . O in alternativa se il problema consente valori negativi per . In questo caso il tuo controesempio non sarebbe PO.

(x, m)

$(x,m)$

i

$i$

m_{i} > 0

$m_i>0$

m_{i}

$m_i$

— Giskard,

@KitsuneCavalry Qui sta l'errore: "Dall'allocazione originale, se puoi scambiare con e migliorare qualcuno senza ferire nessuno, non eri in un Pareto ottimale e se non puoi scambiare con per fare qualcuno sta meglio, non è possibile aumentare l'utilità aggregata sommata ... "o non è possibile effettuare il commercio perché violerebbe un vincolo di non negatività. Boo, imbroglione! : D Restituisci i 50 punti: D

m

$m$

x

$x$

m

$m$

x

$x$

— Giskard

@denesp Sono d'accordo che il risultato vale se permettiamo a di essere un numero reale, o solo un numero reale strettamente positivo, per tutti .

m_{i}

$m_i$

i

$i$

— Entro il

Non penso che sia vero in un'economia di scambio pura standard alla quale la domanda si riferisce. Si consideri il seguente controesempio: Supponiamo

$I = \{1,2\}$ e e . $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

e lasciare che sia l'insieme delle allocazioni possibili

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ .

Si noti che l'allocazione è efficiente di Pareto, ma non massimizza la somma delle utilità. Il motivo è che l'allocazione produce la somma più alta. $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ $a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ .

— Amit
fonte

@Dorner: cosa ne pensi?

— Giskard,

Credo che ti riferisci al seguente risultato: Qualsiasi allocazione PE massimizza , ma è difficile sapere con precisione poiché non sei specifico su fattibilità. $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

Fammi essere più specifico. Per ogni , . Un'allocazione è . L'insieme delle allocazioni possibili è . L'utilità di da è , dove è in costante aumento. $i\in\{1,\ldots,I\}$ $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ $i\in\{1,\ldots,I\}$ $a\in F$ $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ $\phi_{i}$

La definizione di allocazione PE è standard: è PE se tale che per tutti e per alcuni . $a\in F$ $\nexists a'\in F$ $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ $i$ $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ $i$

Ora sostengo che se è PE, allora è una soluzione a o, facendo la massimizzazione rispetto a s esplicito, st . $a$ $a$ $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $x_{i}$ $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

Non ho intenzione di dimostrare l'affermazione qui, ma l'idea chiave è semplice ed è la seguente. Supponiamo che sia PE ma non risolva il problema di massimizzazione. Quindi possiamo trovare un altro fattibile tale che . È vero, in , rispetto a , come gli agenti stanno peggio, ma possiamo usare il denaro, s, per farli ugualmente bene come sotto , ed essere ancora lasciati con un po 'di denaro da quando abbiamo aumentato la somma di utilità proveniente da s. $a^{*}$ $a'$ $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ $a'$ $a^{*}$ $m_{i}$ $a^{*}$ $x_{i}$

Un altro modo per dirlo è che la somma dell'utilità da è . Ora qualsiasi allocazione non dispendiosa avrà il primo termine identico. $a\in F$ $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $a\in F$

Un altro modo di pensare a questo è che s determina la dimensione della torta e il denaro, s, determina la ridistribuzione. Per quasi linearità, diminuendo di un'unità e aumentando di un'unità lascia le foglie invariate. Questo non è vero per e . $x_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{j}$ $m_{i}+m_{j}$ $x_{i}$ $x_{j}$

Ciò implica anche che qualsiasi che risolve il problema di massimizzazione è PE. $a\in F$

— Jan
fonte

Hai letto le altre due risposte? Uno afferma sostanzialmente lo stesso. L'altro fornisce un controesempio.

— Giskard,

Sì, ho letto le risposte e sto dicendo cose diverse. Le due risposte parlano della massimizzazione della somma delle utilità, sto parlando della massimizzazione della somma dagli s. Nel controesempio, il presupposto critico è che . Se per , si applica ciò che sto dicendo. Quale ipotesi sia "standard" è discutibile. Sono stato cresciuto da MWG.

x_{i}

$x_{i}$

m_{i} \geq 0

$m_{i}\geq0$

\forall i \in {1, 2}

$\forall i\in\{1,2\}$

m_{i} \in R

$m_{i}\in\mathbb{R}$

i \in {1, 2}

$i\in\{1,2\}$

— Jan

Un altro commento, Mas-Colell, Whinston, il capitolo 10 di Green, in particolare le parti C e ancora più in particolare la parte D, è un buon trattamento da manuale del problema che l'OP chiede.

— Jan