Condizioni di concavità rigida diagonale di Rosen

Si consideri un gioco con giocatori, con uno spazio di strategia , in cui è delimitata set, e il lettore payoff funzione . Le condizioni di Rosen ( JB Rosen. Esistenza e unicità dei punti di equilibrio per i giochi concavi in n-persona. Econometrica, 33 (3): 520–534, 1965 ) per l'unicità dell'equilibrio di Nash nel gioco dei giocatori afferma che l'equlibrium sarà unico quando $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

payoff funzione è concavo nella propria strategia $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
Esiste un vettore ( tale che funzione è diagonalmente rigorosamente concavo $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

indica il set di giocatori. $N$

Per definire il concetto di concavità diagonale rigorosa, il pugno introduce 'pseudogradient' della funzione , definito con: $\sigma$ Quindi,si dice che lafunzioneèdiagonalmente dominanteinperfissose per ognivale quanto segue:

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

$\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium

— Nidjsi
fonte

$\sigma(s,z)$ $\sigma$ $g(s,z)$

$\sigma$

— muxamilian
fonte

Grazie per la tua risposta! Quello che scrivi è essenzialmente uno dei risultati nel documento originale di Rosen. Quando dico intuizione intendo quale proprietà dell'interazione strategica nel gioco è catturata dalla rigorosa condizione di concavità? Ad esempio, questa condizione dice qualcosa su come le azioni degli altri giocatori influenzano il payoff del giocatore i, o come l'azione del giocatore i influenza il payoff degli altri giocatori nel gioco. Scusa se non ero abbastanza chiaro nella domanda.

— Nidjsi,