CES: Funzione di produzione: elasticità di sostituzione

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Devo dimostrare che per la funzione di produzione CES: $\sigma = 1/(1 + \rho)$

\begin{aligned} q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}} \end{aligned}

$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$

Ho scoperto che devo risolvere la seguente equazione:

\begin{aligned} σ = \frac{\frac{d (k / l)}{k / l}}{\frac{d R T S}{R T S}} = \frac{d (k / l)}{d R T S} \frac{R T S}{k / l} = \frac{d (k / l)}{d ((k / l)^{1 - ρ})} \frac{(k / l)^{1 - ρ}}{k / l} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$

Ma non so come riscrivere questa espressione in $\sigma = 1/(1 + \rho)$

production-function

— frankfranfrank
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Controlla l'esempio per la produzione di Cobb Douglas e prova a risolverlo per il CES. en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substitution

— clueless

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La funzione di produzione è: MPL e MPK sono rispettivamente: Qual è la velocità con cui posso sostituire k?

q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}}

$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$

q_{l} = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}

$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$

q_{k} = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}

$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$

Laddove è una funzione differenziabile a valore reale di una singola variabile, definiamo l'elasticità di f (x) rispetto a x (nel punto x) per essere $f$

σ (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \equiv \frac{\frac{d f (x)}{f (x)}}{\frac{d x}{x}}

$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$

Effettua una modifica delle variabili in modo tale che ( ) e ( ) $u = ln(x)$ $\rightarrow x = e^u$ $v=ln(f(x))$ $\rightarrow f(x) = e^v$
Nota che e modo che $v' = f'(x) / f(x)$ $u'=\frac{1}{x}$ $\frac{v^{'}}{u^{'}} = \frac{\frac{f^{'} (x)}{f (x)}}{\frac{1}{x}} = σ (x)$ $\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$
Nota che questo è anche il risultato che ottieni risolvendo per perché che risolviamo tramite la regola a catena: che sembra essere esattamente la definizione di . $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} \cdot x$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$ $\sigma(x)$

Ora affrontiamo il tuo problema di elasticità.

l n (\frac{q_{k}}{q_{l}}) = l o g (\frac{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}}{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}}) = l n (\frac{l}{k})^{ρ - 1} = (ρ - 1) l n (l / k) = (1 - ρ) l n (k / l)

$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$

\Rightarrow l n (k / l) = \frac{1}{1 - ρ} \cdot l n (\frac{q_{k}}{q_{l}})

$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$

Quindi $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— BKay
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\frac{1}{ρ}

$\frac{1}{\rho}$ e possono essere ridotti dai derivati MPL e MPK per semplificare l'esposizione.

ρ

$\rho$

— garej,

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Vorrei aggiungere un po 'alla risposta sopra. Ho scritto un commento prima, ma ho pensato che sarebbe stato utile approfondire un po 'di più l'argomento.

Abbiamo una ditta che utilizza due fattori di produzione, lavoro e il capitale , per produrre prodotti. La quantità di output è scritta . $l$ $k$ $q$

L'elasticità di una funzione di una singola variabile misura la risposta percentuale di una variabile dipendente a una variazione percentuale nella variabile indipendente.

D'altra parte, l'elasticità della sostituzione tra due input di fattori misura la risposta percentuale del rapporto tra le loro quantità e una variazione percentuale nei relativi prodotti marginali.

Relativamente a quanto sopra, abbiamo che l'elasticità è data da

\begin{aligned} σ \equiv \frac{d \ln (k / l)}{d \ln (M P L / M P K)} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align}$

dove è il prodotto marginale del lavoro e è il prodotto marginale del capitale. $MPL$ $MPK$

Il motivo per cui sto scrivendo questo è che c'è un piccolo errore nella risposta sopra. Nell'equazione subito dopo "Ora affrontiamo il tuo problema di elasticità", è immediatamente seguito da un'espressione per scambiando il numeratore con il denominatore. $\ln{\frac{q_k}{q_l}}$ $\ln{\frac{q_l}{q_k}}$

Se lo correggi, ottieni , che è vicino ma non del tutto corretto. Per ottenere la risposta corretta, segui esattamente gli stessi calcoli forniti dalla risposta precedente per ottenere $\sigma = -\frac{1}{1-\rho}$

\ln k / l = \frac{1}{1 - ρ} \cdot \ln \frac{q_{l}}{q_{k}}

$\ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}}$

per ottenere quello , dove le correzioni sono per i motivi sopra descritti. $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— mathsquestions1
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