Sulla vignetta Ms. Exponential vs Ms. Hyperbolic

Mi sono imbattuto in questa piccola parabola che pretende di dimostrare perché lo sconto esponenziale è superiore allo sconto iperbolico ¹ :

Il maggiore inchino [della curva di sconto iperbolico] significa che se un discount iperbolico si mettesse in commercio con qualcuno che usava una curva esponenziale, sarebbe presto sollevata dai suoi soldi. La signora Exponential potrebbe comprare il cappotto invernale della signora Hyperbolic a buon mercato ogni primavera, ad esempio, perché la distanza dall'inverno successivo deprimerebbe la valutazione della signora H più di quella della signora E. La signora E potrebbe quindi rivendere il cappotto alla signora H ogni autunno quando l'avvicinarsi dell'inverno ha portato la valutazione della signora H in un picco elevato.

La figura a cui si riferisce l'estratto assomiglia in qualche modo a quella mostrata di seguito, la differenza più notevole è che ho aggiunto la legenda per indicare quale curva è quale ² , insieme alla forma analitica delle effettive funzioni di sconto utilizzate ³ .

Ma mi sembra che l'argomento, come presentato sopra, sia falso. È chiaro che la cui valutazione sarebbe più depressa, dipende dal tempo. Pertanto, lo stesso argomento esatto con i ruoli di Ms. E e M invertiti, funzionerebbe per qualsiasi punto temporale tra il punto in cui le curve si intersecano e l'asse verticale.

In effetti, per alcune scelte di coefficienti per le curve iperboliche ed esponenziali, la curva esponenziale è più depressa di quella iperbolica per tutti i punti temporali . Per esempio:

Si scopre che la curva esponenziale verde sopra interseca la curva iperbolica con un solo valore di $t$, vale a dire $t = 0$(ovvero nel momento indicato dall'asse verticale). Per tutti$t < 0$, la curva esponenziale verde è strettamente inferiore a quella iperbolica.

Ciò significa che, se la curva di sconto esponenziale della sig.ra E fosse quella verde, la sig.ra H sarebbe in grado di immergerla rapidamente applicando la strategia descritta nell'estratto, e ciò sarebbe vero indipendentemente dalla lunghezza dell'intervallo di tempo tra la compravendita del cappotto invernale .

In sintesi, l'argomento dell'estratto per la superiorità dell'attualizzazione esponenziale rispetto all'attualizzazione iperbolica non regge, secondo me.

Ora, mi rendo conto che l'estratto non è particolarmente rigoroso e che potrebbe esserci un modo più convincente per dimostrare la superiorità dell'attualizzazione esponenziale rispetto all'attualizzazione iperbolica. Se è così, che cosa è? In particolare, voglio sapere quanto segue:

In che modo qualcuno che utilizza lo sconto esponenziale può trarre un vantaggio finanziario unilaterale da qualcuno che usa lo sconto iperbolico?

(Con unilateralmente intendo che la strategia è disponibile solo per qualcuno che usa lo sconto esponenziale nei confronti di qualcuno che usa lo sconto iperbolico e non viceversa.)

^{1 Il riferimento che ho per questo passaggio è Breakdown of will (2001) di George Ainslie (pagg. 30-31). Non ho il libro, però.}

^{2 Ho aggiunto le etichette "iperbolico" ed "esponenziale", secondo la mia interpretazione di ciò che l'autore intende con "maggiore inchino". Non sono madrelingua inglese, quindi per favore correggimi se questa interpretazione è al contrario.}

^{3 Notare che tutte queste funzioni hanno$(-\infty, 0]$come i loro domini. Questa scelta era necessaria per abbinare l'aspetto delle curve originali. Inoltre, dovrei sottolineare che le forme funzionali che ho usato per tutte queste curve sono le mie, scelte in modo da approssimare l'aspetto delle curve originali. Il testo dell'estratto non fornisce la forma funzionale delle curve rappresentate.}

Credo che la pompa del denaro funzioni in questo modo:

A $T=0$ prendere in prestito un centinaio di dollari da Henry il discount iperbolico per il periodo a tempo pieno $t$. Il tasso di interesse dovrebbe essere zero perché il loro tasso di sconto sui prestiti di quel periodo è$1$. Per semplicità, rendilo un prestito zero coupon, con il pagamento dovuto alla scadenza e presumi che entrambi concordino sul fatto che non vi è alcun rischio di credito. Ora fai un passo avanti di un periodo$T=\epsilon$. Offri di rivendere il prestito a Henry. Il suo tasso di sconto è ora$\frac{1}{1-\epsilon} < 1$quindi il tasso di interesse è inferiore a quello che avrebbe addebitato su un nuovo prestito, quindi il prezzo deve essere superiore alla pari. Chiama il prezzo$100 + \psi_1$. Fare la vendita, strappare il prestito e tasca$\psi_1$. Richiedi un nuovo prestito di cento dollari, sempre a cedola zero, ora a tasso di interesse$\frac{1}{1-\epsilon}$per periodo. Fai un altro passo in avanti verso$T = 2 \epsilon$. Ancora,$\frac{1}{1-2\epsilon} < \frac{1}{1-\epsilon}$ quindi puoi vendere questo obbligo anche per più di pari ($1 + \psi_2$). Fare la vendita, strappare il prestito e tasca$\psi_2$. Risciacqua, insapona e ripeti fino a quando non hanno un centinaio di dollari da prestarti.

Aggiornamento: si spera che questo sia un esempio più semplice. Quello che fai è in ogni periodo comprare T (T$\geq$2) periodo un legame da Henry il discount iperbolico. Inoltre, vendi a Henry il prestito acquistato nel periodo precedente. Sarai disposto a farlo fintanto che il periodo di tempo è abbastanza breve che il profitto sulla transazione è abbastanza alto da compensare il tuo tasso di sconto.

Prendi in considerazione un'obbligazione di 2 anni con le preferenze sopra. Il tasso di sconto di 2 anni è$\frac{1}{3}$ che è inferiore al tasso di sconto di 1 anno $\frac{1}{2}$. Eddy il discount esponenziale è disposto a prestare denaro a Henry perché i profitti su quel prestito sono abbastanza alti da compensarlo, anche se il suo tasso di preferenza temporale per i prestiti di 1 e 2 anni è superiore a quello di Henry.