Distribuzione di una statistica di test sotto l'ipotesi alternativa

Ho letto la teoria e i metodi di Econometric di Davidson e non riesco a capire un particolare paragrafo sulla distribuzione di una statistica di test. Nel paragrafo seguente dice che sotto l'ipotesi alternativa se il vero $ \ beta $ è uguale a $ \ beta_1 $ allora $ \ hat b = \ beta_1 + \ hat \ gamma $. Quindi definisce $ z = (\ beta_1 + \ hat \ gamma- \ beta_0) / (\ sigma ^ 2 / \ nu) $ e trova la media e la varianza fornite da 4.04. Perché lo sta facendo? Capisco come ottiene la media e la varianza ma non capisco perché lo sta facendo perché alla fine non otteniamo una variabile normale standard ma una variabile con media $ \ lambda $ e varianza 1.

Sono rimasto bloccato qui per un po 'quindi qualsiasi aiuto sarebbe molto apprezzato.

Leggendo il libro, $ z = \ frac {\ hat \ beta- \ beta_0} {(\ sigma ^ 2 / n) ^ {(1/2)}} $

La distribuzione di $ z $ sotto $ H_0 $ determinerà i valori critici per un dato livello di significatività $ \ alpha $, cioè determinerà la probabilità di errori di Tipo I (prob di rifiuto del null, quando null è vero).

La distribuzione di $ z $ sotto $ H_1 $ (4.04) definirà la probabilità di errori di Tipo II (non rifiutando null quando alternativa è la vera ipotesi).

Più vicini - le medie sono vicine - le distribuzioni di z sotto il nulla e l'alternativa sono, maggiore è la probabilità di errori di tipo II. Nella foto qui sotto, abbiamo diversi pdf per le normali distribuzioni. In blu, la distribuzione ha una media zero; in rosso 1; e in giallo significa 2.

Ai soliti valori critici di $ 1,96 $ e $ -1,96 $ (per $ \ alpha = 0,05 $), possiamo vedere una linea verticale. Quando siamo sulla curva blu, cioè sotto il punto zero, possiamo calcolare il prob di errore di tipo I, come l'area a destra della linea verticale più a destra, a sinistra della linea verticale più a sinistra e sotto la linea blu.

Per calcolare l'errore di tipo II, controlliamo nell'intervallo tra le linee verticali (non rifiutando l'area $ H_0 $), sotto la curva rossa o gialla, a seconda dei valori effettivamente presi da $ \ beta $. Si noti che l'area al di sotto di tale curva aumenterà quanto più la curva si avvicina a quella sotto la distribuzione nulla. In questo caso, il problema dell'errore di tipo II è maggiore quando l'alternativa è il modello vero e la media della distribuzione è 1.

Deducendo la distribuzione di z in alternativa, gli autori vogliono dare un'idea del tipo di regione di rifiuto che si otterrà, quando si fa inferenza in questa impostazione.

Il modello è

$$ y_t = \ beta + u_t, \; \; u_t \ sim N (0, \ sigma ^ 2), \; t = 1, ..., n $$

e il campione è indipendente. Lo stimatore è

$$ \ hat \ beta = \ frac1n \ sum_ {t = 1} ^ n y_t = \ frac1n \ sum_ {t = 1} ^ n (\ beta + u_t) = \ beta + \ frac1n \ sum_ {t = 1} ^ n u_t $$

Se $ \ beta = \ beta_1 $ (dove $ \ beta_1 $ è un valore diverso da $ \ beta_0 $ che impostiamo come ipotesi nulla), allora gli autori impostano $ \ frac1n \ sum_ {t = 1} ^ n u_t \ equiv \ hat \ gamma $ e così scrivono che sotto l'alternativa che abbiamo

$$ \ hat \ beta = \ beta_1 + \ hat \ gamma $$

Dato che $ u '$ sono i.i.d normali, anche la loro somma / media è normale. Quindi la distribuzione dello stimatore è

$$ \ hat \ beta \ sim N (\ beta, \ sigma ^ 2 / n) $$

Supponiamo di impostare come nostra ipotesi nulla che $ H_0: \ beta = \ beta_0 $. e l'alternativa $ H_1: \ beta \ neq \ beta_0 $.

Quindi formiamo la statistica (che è una funzione dello stimatore, non dello stimatore stesso)

$$ z = \ frac {\ hat \ beta - \ beta_0} {\ sigma / \ sqrt {n}} $$

La distribuzione di questa statistica è ( prima specificando qualsiasi ipotesi da testare)

$$ z \ sim N \ left (\ frac {\ beta - \ beta_0} {\ sigma / \ sqrt {n}}, 1 \ right) $$

Supponiamo che poniamo come nostra ipotesi nulla che $ H_0: \ beta = \ beta_0 $. Quindi se l'ipotesi nulla è vera otteniamo

$$ z | _ {H_0} \ sim N \ left (0,1 \ right) $$

Se l'alternativa è vera, sostituiremo $ \ hat \ beta $ per ottenere

$$ z | _ {H_1} = \ frac {\ beta_1 + \ hat \ gamma - \ beta_0} {\ sigma / \ sqrt {n}} = \ frac {\ beta_1 - \ beta_0} {\ sigma \ sqrt {n }} + \ frac {\ hat \ gamma} {\ sigma / \ sqrt {n}} $$

Il primo termine è una costante, il secondo termine è un normale normale r.v. (ricorda cosa $ \ hat \ gamma $ rappresenta). Quindi la distribuzione della statistica sotto l'alternativa è

$$ z | _ {H_1} \ sim N \ left (\ frac {\ beta_1 - \ beta_0} {\ sigma / \ sqrt {n}}, 1 \ right) $$

e gli autori scrivono

$$ \ lambda \ equiv \ frac {\ beta_1 - \ beta_0} {\ sigma / \ sqrt {n}} $$