È possibile trasferire un tasso di sconto all'interno di un modello di crescita Solow-Swan?

Sto cercando di capire le implicazioni di un modello di crescita Solow-Swan con, per mantenere le cose semplici, popolazione costante e costante tecnologia Cobb-Douglas scritta in forma pro capite come . Dato un capitale iniziale, un tasso di ammortamento δ e ipotesi sul rapporto di risparmio s, capisco come ottenere percorsi temporali per il consumo y, k e pro capite c, le proprietà degli stati stabili e lo stato stazionario della regola aurea.$y=k^{\alpha} (0<\alpha<1)$$\delta$

Domanda : È possibile all'interno di questo modello, forse con ipotesi aggiuntive plausibili, inferire il percorso dei tassi di sconto , e di conseguenza dei tassi di interesse r, corrispondenti a un dato percorso temporale possibile di y, k ec?$\rho$

Nel modello Solow-Swan, il tasso di interesse sarà determinato dall'equilibrio del mercato: sotto l'ipotesi di base dei mercati competitivi (e della tecnologia dei rendimenti costanti su scala), otteniamo la familiare relazione di equilibrio per periodo

$$f'(k) = r + \delta \tag{1}$$

Per quanto riguarda il tasso di preferenza temporale pura , pensa a quanto segue: in questo modello, il risparmio è una percentuale fissa della produzione. Quindi il consumo è anche una percentuale fissa della produzione:

$$c = (1-s)f(k) \implies \dot c = (1-s)f'(k)\dot k \tag{2}$$

mentre anche noi abbiamo

$$\dot k = sf(k) - (n+\delta)k \tag{3}$$

Combinando, abbiamo

$$\dot c = (1-s)f'(k)\cdot [sf(k) - (n+\delta)k]$$

$$= (1-s)f(k)f'(k)s - (1-s)f'(k)(n+\delta)k$$

e usando le relazioni precedenti,

$$\dot c = s(r+\delta)c - (1-s)(r+\delta)(n+\delta)k \tag{4}$$

Nel modello "Ramsey" con massimizzazione dell'utilità intertemporale del consumatore, otteniamo la relazione (per log-utility per semplicità)

$$\dot c = (r-\rho(t)) c \tag{5}$$

Si noti che ho fatto variare il tasso di preferenza temporale pura nel tempo e questo è effettivamente il caso quando esaminiamo i tassi di preferenza variabili nel tempo nel modello Ramsey (vedi ad esempio Barro, RJ (1999). Ramsey incontra Laibson nel modello di crescita neoclassica Journal of Economics trimestrale, 1125-1152 ).

$(4)$$(5)$

$$s(r(t)+\delta)c(t) - (1-s)(r(t)+\delta)(n+\delta)k(t) =[r(t)-\rho(t)] c(t)$$

$$\implies \big[s(r(t)+\delta) - r(t)+\rho(t)]c(t) = (1-s)(r(t)+\delta)(n+\delta)k(t)$$

$$\implies \rho(t) = (1-s)(r(t)+\delta)(n+\delta)\frac {k(t)}{c(t)} +r(t) - s[r(t)+\delta]$$

$$\implies \rho(t) = (r(t)+\delta)(n+\delta)\frac {k(t)}{f(k(t))} +r(t) - s[r(t)+\delta]$$

$\rho(t)$

$f(k) = Ak^a$

$$\rho(t) = (n+\delta)a - s\delta + (1-s)r(t)$$

o

$$\rho(t) = (n+\delta)a - \delta + (1-s)f'(k(t))$$

$\rho$

$f'(k^*) = a(n+\delta)/s$

$$\implies \rho^* = (n+\delta)a - \delta + \frac{(1-s)a(n+\delta)}{s}$$

$$\implies \rho^* = \frac {an+ (a-s)\delta}{s}$$

$a$$s<a$$s >a$$\rho$

$a=0.45, s=0.35, n=0.01, \delta =0.05$

$$\rho^* \approx 0.027$$

$\rho =0.02$