Se ci viene dato che una variabile si trova su un percorso di crescita equilibrato (per ragioni di argomentazione, assumeremo il consumo), come possiamo dimostrare che un'altra variabile correlata al consumo (come il capitale o la ricchezza) dovrebbe crescere allo stesso ritmo costante del consumo? Ho provato a dare la spiegazione verbale di seguito, ma sono stato segnato per non essere abbastanza rigoroso.
La mia spiegazione verbale era la seguente (nel problema c'erano solo due variabili, consumo e ricchezza e ci veniva dato che il consumo era su un percorso di crescita equilibrato):
Se il consumo cresce a un ritmo costante, anche la ricchezza deve crescere allo stesso ritmo costante. Se il tasso di crescita della ricchezza è superiore a quello del consumo, avremo una ricchezza positiva durante l'ultimo periodo di tempo, quindi non avremmo potuto massimizzare l'utilità (perché l'agente non ottiene alcuna utilità dal possesso di ricchezza). Se il tasso di crescita della ricchezza è inferiore a quello del consumo, un tasso di crescita costante del consumo non sarebbe sostenibile in un orizzonte temporale infinito perché l'agente alla fine avrebbe meno ricchezza del necessario per il livello di consumo prescritto dall'ottimalità.
Il mio professore ha detto che avrei potuto usare i FOC per dimostrare che dovevano crescere allo stesso ritmo, ma non sono sicuro di come lo farei. Qualcuno può aiutarmi a capire?