dominio stocastico del secondo ordine senza la stessa media

Siano $F$ e $G$ due distribuzioni con la stessa media. Si dice che $F$ al secondo ordine stocasticamente domina ( SOSD ) $G$ se

\begin{matrix} (1) & \int u (x) d F (x) \geq \int u (x) d G (x) \end{matrix}

$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$ per tutte le

crescenti e concave

u (\cdot)

$u(\cdot)$ .

Questa definizione sopra è equivalente a

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{x} F (t) d t \leq \int_{- \infty}^{x} G (t) d t, \forall x \in R . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$

Mi è stato detto che il requisito per $F$ e $G$ di avere la stessa media non è davvero necessario. Supponiamo che $F$ e $G$ non non hanno la stessa media. Possiamo quindi avere ancora l'equivalenza tra $(1)$ e $(2)$ ?

NB Sono stato in grado di mostrare $(2)\Rightarrow (1)$ senza la stessa condizione media, ma non viceversa.

microeconomics probability

— Herr K.
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$u(x) = x$

\begin{matrix} (1) & \int x d F (x) \geq \int x d G (x) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (X) \end{matrix}

$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$ $F$ $G$

$F$ $G$

— Alecos Papadopoulos
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