Curve di indifferenza sottili

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Se un consumatore segue l'assioma della razionalità della continuità (cioè nessun salto nelle sue preferenze), si dice che le curve di indifferenza di una funzione di utilità siano sottili.

Perché la continuità ( tale che ) implica curve di indifferenza sottili? $x \succeq y \Rightarrow \exists \space z=x+\epsilon$ $|z|\ge y \space \forall \epsilon > 0$

— Omrane
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Prova queste note di lezione: econ.ucla.edu/sboard/teaching/econ11_09/econ11_09_lecture2.pdf

— usul

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Non credo che la continuità da sola sia sufficiente per garantire sottili curve di indifferenza.

Considerare preferenze tale che, per ogni ed nel set scelta, il consumatore è indifferente tra ed . Sembra che debba adattarsi a qualsiasi definizione di una spessa curva di indifferenza perché l'intero set di scelta si trova su una singola curva di indifferenza! $x$ $y$ $x$ $y$

Ma queste preferenze soddisfano anche la tua definizione di continuità.

Quindi, sembra che la continuità implichi sottili curve di indifferenza se è accoppiata con qualche altra ipotesi.

— Ubiquo
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Per cominciare, penso che la domanda sia erroneamente formulata. Perché se la definizione di una curva di indifferenza sottile è tale che la continuità delle preferenze di un consumatore implica curve di indifferenza sottili, allora, sicuramente, la continuità implica curve di indifferenza sottili ... Questo risponde alla tua domanda.

Tuttavia, se vogliamo fare una definizione adeguata di una sottile curva di indifferenza, possiamo innanzitutto dire che è una spessa curva di indifferenza, dove è il insieme di possibili bundle e dove indica indifferenza, ogni volta che esiste una e una tale che implica , dove è un quartiere epsilon attorno a ; e in secondo luogo dire che è un sottile

[q] = {p \in Δ | p \sim q}

$[q]=\{p\in\Delta|p\sim q\}$

Δ

$\Delta$

\sim

$\sim$

q^{'} \in [q]

$q'\in [q]$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

p \in N_{ϵ} (q^{'})

$p\in N_{\epsilon}(q')$

p \sim q^{'}

$p\sim q'$

N_{ϵ} (q^{'})

$N_{\epsilon}(q')$

q^{'}

$q'$

[q]

$[q]$ curva di indifferenza se non è spessa. Colloquialmente ciò significa che c'è un dosso su una spessa curva di indifferenza , ma nessun dosso su una sottile curva di indifferenza.

[q]

$[q]$

In sostanza, quanto sopra è una breve esposizione di Un approccio geometrico all'utilità attesa (Chatterjee e Krishna, 2006) . Usando la definizione sopra di una curva di indifferenza sottile, mostrano in Lemma 2.3 che (i) continuità e (ii) indipendenza implicano curve di indifferenza sottili (nota che non mostrano che la continuità da sola implica curve di indifferenza sottili; vedi la risposta di Ubiquitous) . La loro definizione si basa sui seguenti due concetti topologici.

L'assunzione di continuità. Tutti i sottoinsiemi e di , dove , sono aperti; qui, ricorda che un set aperto è un set per il quale ogni punto in esso ha un quartiere che giace in quel set. Pertanto, questa nozione di continuità è simile alla tua. $\{q|q\succ p\}$ $\{q|p\succ q\}$ $\Delta$ $p\in \Delta$
L'assunzione di indipendenza. Per tutti , e implica che questo consente una buona algebra. $p,q,r\in\Delta$ $p\succ q$ $\lambda\in (0,1]$ $λ p + (1 - λ) r ≻ λ q + (1 - λ) r;$ $\lambda p+(1-\lambda)r\succ \lambda q+(1-\lambda)r;$

Ora, ciò che mostrano in Lemma 2.3 è essenzialmente che se hai una curva di indifferenza e consideri un quartiere epsilon attorno a , allora non implica che per arbitrariamente piccolo . Vale a dire, per quanto piccolo, nessun quartiere epsilon è tale da contenere solo fasci per i quali si è indifferenti tra quei fasci e . Invece, ogni quartiere epsilon includerà punti che sono strettamente preferiti a . $[q]$ $N_{\epsilon}(q')$ $q'\in [q]$ $p\in N_{\epsilon}(q')$ $p\sim q'$ $\epsilon>0$ $q'$ $q'$

Per le funzioni di utilità continue, penso che sia fruttuoso notare che la loro immagine in eg ha (Lebesgue) misura 0 (cfr. Come dimostrare che l'immagine di una curva continua in ha la misura ? ) $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^2$ $0$

— Elias
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