Prove nell'Appendice A di Sannikov (2007)

Ho alcune domande sulle prove nell'Appendice A di Sannikov (2007), Giochi con azioni imperfettamente osservabili in tempo continuo .

1. Nel lemma 4, quando mostra la continuità di Lipschitz $H_a(w,\theta)$ in $\theta$, deriva una funzione ausiliaria $F(\theta^\prime)$, prende la sua derivata e limita quella derivata (pagina 41). Come riesce a vincolarlo? Cosa è$|\mathcal{V}|$? Come è in grado di limitare il fattore coinvolto$\beta^1$ e $\beta^2$?
2. Nella proposizione 4, perché la continuità di Lipschitz dell'obiettivo garantisce la continuità della funzione di valore? Questo segue solo dal Teorema massimo ? In tal caso, perché avevamo bisogno della continuità di Lipschitz?
3. Anche nella proposizione 4: perché la curvatura iniziale essendo positiva garantisce che rimanga positiva?
4. Come funziona l'idempotenza di $Q_i(a)$ garantirlo $\bar{Q} \geq 1$?