Vincolo di bilancio con tempo libero e consumi

Mi viene data la seguente funzione di utilità:

dove x 1 rappresenta il tempo libero e x 2 rappresenta il consumo.$u(x_{1}, x_{2})=x_{1}^2x_{2}$$x_{1}$$x_{2}$

Mi è stato anche dato il vincolo di budget con il prezzo di normalizzato a 1:$x_{2}$

dove w è il salario e T è il numero di ore disponibili per l'agente.$w(T-x_{1})=x_{2}$$w$$T$

Mi viene chiesto di derivare le richieste marshalliane. Come dovrei interpretare questo problema? Dovrei considerare il prezzo di x 1 poiché è il costo opportunità del tempo libero? In tal caso, l'agente è vincolato da entrambi, tempo e salario. Non sono sicuro di come procedere.$w$$x_{1}$

La funzione di utilità è Cobb-Douglas, quindi sappiamo che la domanda marshalliana quando il consumatore affronta i prezzi e ha denaromè dato da$\left(p_1,p_2\right)$$m$

$$x\left(p_1,p_2,m\right) = \left( \frac{2}{3} \frac{m}{p_1} , \frac{1}{3} \frac{m}{p_2} \right)$$

Dovresti essere in grado di derivare la domanda marshalliana per il tuo problema notando quali , p 2 e m sono nel tuo problema.$p_1$$p_2$$m$

Questo è un problema che ha anche un vincolo di disuguaglianza, insieme al vincolo di bilancio che viene qui dato come uguaglianza. Per semplicità, sostituisci il vincolo di uguaglianza nella funzione di utilità e forma un lagrangiano

$$\Lambda = u(x_1,x_2(x_1)) + \lambda(T-x_1),\;\; \lambda \geq 0$$

dove è un moltiplicatore di Karush-Kuhn-Tucker. Quindi massimizzare rispetto a x 1 .$\lambda$$x_1$