Implicazione della dominanza stocastica del primo ordine

Usa l'indice di utilità $ U (x) = x $ per dimostrare che se la distribuzione di $ F $ di primo ordine domina stocasticamente la distribuzione $ G $, la media di $ x $ sotto $ G $ non può superare la media di $ x $ sotto $ F $.

Prova: Supponiamo che $ F $ sia il primo ordine stocasticamente domina $ G $ poi $$ F (x) \ leq G (x) \ \ \ forall x $$ Poiché l'aspettativa mantiene la linearità, ne consegue che $$ \ mathbb {E} \ left [F (x) \ right] \ leq \ mathbb {E} \ left [G (x) \ right] \ \ \ forall x $$

Non sono sicuro che sia corretto o abbastanza rigoroso. Qualsiasi suggerimento è molto apprezzato.

Ci vengono dati due CDF $ F $ e $ G $, tali che $ F $ FOSD $ G $ i.e. $ F (x) \ leq G (x) $ $ \ tutti x $. Considera le variabili casuali $ X \ sim F $ e $ Y \ sim G $. Supponiamo inoltre che $ X $ e $ Y $ prendano valori non negativi.

Vogliamo mostrare che $ \ mathbb {E} (X) \ geq \ mathbb {E} (Y) $.

Ecco l'intuizione: $ F (x) \ leq G (x) $ $ \ per ogni x $ significa che la probabilità che la variabile casuale $ X $ assuma valori inferiori a $ x $ sia inferiore alla probabilità che $ Y $ sia preso valori inferiori a $ x $, e questo vale per ogni $ x $. Pertanto, $ X $ assume valori più alti di $ x $ più spesso di $ Y $ che indicano che $ X $ avrà la media più alta di $ Y $.

Ecco la prova:

\ begin {eqnarray *} & amp; F (x) \ leq G (x) \ \ \ \ tutto x \\ \ rightarrow & amp; 1 - F (x) \ geq 1- G (x) \ \ \ \ per tutto x \\ \ rightarrow & amp; \ int_ {0} ^ {\ infty} 1 - F (x) dx \ geq \ int_ {0} ^ {\ infty} 1- G (x) dx \\ \ rightarrow & amp; \ int_ {0} ^ {\ infty} \ Pr (X & gt; x) dx \ geq \ int_ {0} ^ {\ infty} \ Pr (Y & gt; x) dx \\ \ rightarrow & amp; \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {x} ^ {\ infty} f_X (a) da dx \ geq \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {x} ^ {\ infty} f_Y ( a) da dx \\ \ rightarrow & amp; \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {a} f_X (a) dx da \ geq \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {a} f_Y (a) dx da \\ \ rightarrow & amp; \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {a} dx \ f_X (a) \ da \ geq \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {a} dx \ f_Y (a) \ da \\ \ rightarrow & amp; \ int_ {0} ^ {\ infty} a \ f_X (a) \ da \ geq \ int_ {0} ^ {\ infty} a \ f_Y (a) \ da \ \ rightarrow & amp; \ mathbb {E} (X) \ geq \ mathbb {E} (Y) \ \ end {eqnarray *}