Condizione di trasversalità nel modello di crescita neoclassica

Nel modello di crescita neoclassico esiste la seguente condizione di trasversalità:

lim_{t \to \infty} β^{t} u^{'} (c_{t}) K_{t + 1} = 0,

$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$ dove

k_{t + 1}

$k_{t+1}$ è la capitale al periodo

t

$t$ .

Le mie domande sono:

Come deriviamo questa condizione?
Perché lo richiediamo, se vogliamo escludere percorsi senza accumulo di debito?
Perché i moltiplicatori di Lagrange $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ il valore attuale scontato del capitale?

economic-growth dynamic-optimization

— Neta_1990
fonte

Dai un'occhiata a queste risposte per la distinzione tra la condizione di ottimalità della trasversalità e il vincolo esogeno di solvibilità , economics.stackexchange.com/a/13681/61 ed economics.stackexchange.com/a/11866/61

— Alecos Papadopoulos

Ho cercato di dare una descrizione non matematica e in un linguaggio semplice dell'intuizione alla base della condizione di trasversalità in questo post: medium.com/@alexanderdouglas/… Non sono un macroeconomista, quindi potrei aver sbagliato. In tal caso, spero che alcune risposte appariranno presto.

— Alexander Douglas,

Questo dovrebbe essere un commento, poiché fornisci solo un link a contenuti esterni. Inoltre, la condizione di trasversalità non dipende da alcuna ipotesi sulla formazione delle aspettative, poiché è una condizione imposta anche nei modelli deterministici in cui l'assenza di incertezza. E non è specificamente correlato al debito pubblico, ma a qualsiasi attività in generale. Il punto fondamentale è il seguente: supponendo che non ci siano motivi legati al lascito (non ci importa della nostra progenie o società), non è ottimale "lasciare indietro" la ricchezza non consumata. Questo è tutto quello che c'è da fare.

— Alecos Papadopoulos,

CONTD È abbastanza semplice con un orizzonte finito e, come al solito, quando l'orizzonte diventa "inifinito" diventa un po 'meno semplice ed evidente.

— Alecos Papadopoulos,

Risposte:

La condizione di trasversalità può essere più facilmente compresa se si parte da un problema con orizzonte finito.

Nella versione standard, il nostro obiettivo è subject to con indicato. Il Lagrangiano associato (con moltiplicatori , e ) è I FOC sono

max_{{c_{t}, K_{t + 1}}_{t = 0}^{T}} Σ_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t})

$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$

\begin{aligned} f (K_{t}) - c_{t} - K_{t + 1} & \geq 0, t = 0, ..., T & (vincolo di risorse / budget) \\ c_{t}, K_{t + 1} & \geq 0, t = 0, ..., T & (vincolo di non negatività) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$

k_{0}

$k_0$

λ_{t}

$\lambda_t$

μ_{t}

$\mu_t$

ω_{t}

$\omega_t$

max_{{c_{t}, K_{t + 1}, λ_{t}, μ_{t}, ω_{t}}_{t = 0}^{T}} Σ_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t}) + λ_{t} (f (K_{t}) - c_{t} - K_{t + 1}) + μ_{t} c_{t} + ω_{t} K_{t + 1}

$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$

\begin{aligned} c_{t} : & β^{t} u^{'} (c_{t}) - λ_{t} + μ_{t} & = 0, t = 0, ..., T \\ K_{t + 1} : & - λ_{t} + λ_{t + 1} f^{'} (K_{t + 1}) + ω_{t} & = 0, t = 0, ..., T - 1 \\ (1) & K_{T + 1} : & - λ_{T} + ω_{T} & = 0, T + 1 \end{aligned}

$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$ con le condizioni di rilassamento complementare di Kuhn-Tucker: per , Poiché il vincolo di risorse deve essere vincolante in tutti i periodi, ovvero per tutte le , ne consegue che nell'ultimo periodo , , .

t = 0, \dots, T

$t=0,\dots,T$

\begin{aligned} λ_{t} (f (K_{t}) - c_{t} - K_{t + 1}) & = 0 & λ_{t} & \geq 0 \\ μ_{t} c_{t} & = 0 & μ_{t} & \geq 0 \\ (2) & ω_{t} K_{t + 1} & = 0 & ω_{t} & \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$

λ_{t} > 0

$\lambda_t>0$

t

$t$

T

$T$

ω_{T} = λ_{T} > 0

$\omega_T=\lambda_T>0$

k_{T + 1} = 0

$k_{T+1}=0$

Di solito assumiamo per tutto (la condizione di Inada), e questo implica per tutto . Quindi il FOC di consumo diventa $c_t>0$ $t$ $\mu_t=0$ $t$

\begin{matrix} (3) & β^{t} u^{'} (c_{t}) = λ_{t} \end{matrix}

$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$

Osservando le condizioni e nell'ultimo periodo , otteniamo Estendendolo all'orizzonte infinito, otteniamo la condizione di trasversalità $(1)$ $(2)$ $(3)$ $T$

β^{T} u^{'} (c_{T}) K_{T + 1} = 0

$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

lim_{T \to \infty} β^{T} u^{'} (c_{T}) K_{T + 1} = 0

$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

L'intuizione della condizione di trasversalità è in parte che "non vi sono risparmi nell'ultimo periodo". Ma poiché non esiste un "ultimo periodo" in un ambiente a orizzonte infinito, prendiamo il limite col passare del tempo all'infinito.

— Herr K.
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Secondo me, la migliore derivazione è dalla logica. Pensaci in questo modo: se l'unica cosa che stiamo dicendo alla famiglia è di massimizzare la sua utilità, un comportamento ottimale sarebbe quindi solo fare un debito infinito e consumare all'infinito. Questa non è una soluzione ragionevole. Abbiamo quindi bisogno di un'altra condizione di ottimalità. Questo dovrebbe rispondere alla domanda 2.

In un orizzonte finito, la fattibilità sarebbe raggiunta dal debito che avrebbe dovuto essere rimborsato dall'ultimo periodo. Questo non è possibile in un orizzonte infinito. Tuttavia, "escludere l'accumulo di debito", come suggerisci, è una condizione troppo rigorosa (la condizione di trasversalità consente il debito!).

Per rispondere alla domanda 3, esaminiamo il termine . Indica il guadagno (marginale) di utilità (in utils di valore attuale) di spostare unità di capitale nel periodo te consumarle. Se questo guadagno di utilità fosse positivo all'infinito, potremmo aumentare l'utilità complessiva consumando di più a "periodo infinito", quindi il nostro percorso di capitale non sarebbe ottimale. $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$ $k_{t+1}$

Alla domanda 1: per ricavare questa condizione, puoi fare l'argomento logico che ho appena fatto, dimostrando che senza il mantenimento della condizione di trasversalità, il percorso del capitale non è ottimale, oppure, per una prova matematica, puoi verificare, ad esempio, Note di Per Krusell (anche se è piuttosto difficile da capire)

— Cravatta Chris
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