Teorema di rappresentazione del valore per l'insieme numerabile

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Come possiamo provare quanto segue: se una relazione è un ordine debole su un insieme e è finito, allora esiste una funzione , che è una rappresentazione di valore della relazione di preferenza . $R$ $X$ $X_\sim$ $v:X\to \mathbb{N}$ $R$

Qui conosco la costruzione della funzione quando l'intervallo è l'insieme di numeri reali (poiché è numerabile). Ma sono confuso quando l'intervallo di è l'insieme dei numeri naturali. $v$ $X_\sim$ $v$

Qualcuno potrebbe aiutarmi, per favore?

microeconomics preferences

— UserAb
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Cosa rappresenta ?

X_{\sim}

$X_\sim$

— Alecos Papadopoulos,

Ok. E qual è la differenza tra e ?

X

$X$

X_{\sim}

$X_\sim$

— Alecos Papadopoulos,

Sei sicuro che gli elementi di siano ciascuno solo un numero? Forse ?

X

$X$

X \subset N^{m}

$X \subset \mathbb N^m$

— Alecos Papadopoulos,

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Io uso la solita notazione al posto di . Suppongo che nella tua domanda è l'insieme di classi di equivalenza di su . $(\succeq,\succ,\sim)$ $R$ $X_{\sim}$ $\sim$ $X$

Supponiamo che la cardinalità di sia uguale a . Esistono tale che . Definisci . $X_{\sim}$ $n \geq 1$ $x_1\cdots,x_n$ $x_1 \prec \cdots \prec x_n$ $v(x_1)=1,v(x_2)=2,\cdots,v (x_n)=n$

Poiché ha classi di equivalenza, per ogni esiste un unico tale che . Definisci . $\sim$ $n$ $y \notin \{x_1,\cdots,x_n\}$ $x \in \{x_1,\cdots,x_n\}$ $y \sim x$ $v (y)=v(x)$

La funzione definita su assume valori in . Lascio a te verificare che sia una rappresentazione di utilità di . $v$ $X$ $\mathbb{N}$ $v$ $\succeq$

— Oliv
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0

La chiave è che è un set finito. Ciò significa che esiste un elemento per il quale non esiste alcun elemento dove . Quindi possiamo tranquillamente mappare (e tutti gli altri elementi che appartengono alla stessa classe di equivalenza) a 0. Possiamo quindi ripetere il processo con gli elementi rimanenti e mappare quindi la classe di equivalenza successiva su 1 e così via. $X_\sim$ $x_i \in X$ $x_j \in X$ $x_j < x_i$ $x_i$

Se non era stato finito non ci sarebbe stata alcuna garanzia dell'esistenza di un valore più piccolo in . $X_\sim$ $X$

— Klas Lindbäck
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X

$X$ non è considerato finito nella domanda di OP. Questo ragionamento richiede solo che sia finito, il che è possibile anche con una infinita .

X_{\sim}

$X_{\sim}$

X

$X$

— Oliv

Non ho familiarità con la terminologia. Che cos'è ? È ma con elementi equivalenti (reciprocamente ineguagliabili) collassati in uno?

X_{\sim}

$X_\sim$

X

$X$

— Klas Lindbäck,

1

Penso che sia l'insieme delle classi di equivalenza di , cioè di sottoinsiemi di che sono classificati equamente da . Ad esempio, se e se è definito dalla funzione di utilità se and altrimenti, è semplicemente composto da due sottoinsiemi: e il suo complemento.

\sim

$\sim$

X

$X$

\sim

$\sim$

X = R

$X=\mathbb{R}$

⪰

$\succeq$

v (x) = 1

$v(x)=1$

x \geq 0

$x \geq 0$

v (x) = 0

$v(x)=0$

X_{\sim}

$X_{\sim}$

R_{+}

$\mathbb{R}_+$

— Oliv