Nel modello New Keynesiano log linearizzato, cosa significano , , ?

Questa potrebbe essere una domanda strana, ma sfortunatamente sono confuso dai termini. Supponiamo che il nuovo modello keynesiano log-linearizzato come suggerito da Gali qui: http://crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

La mia prima domanda è: si presume che il valore apparentemente stabile linearizzazione del log di , output, ma questo un valore costante o l'intero percorso di output costante? Equivalentemente, su come si evolverà l'output se evolve senza fattori stocastici ed errori in base al tasso naturale a lungo termine?$Y$$Y_t$$Y$$Y$$Y_t$

La mia seconda domanda, relativa alla prima domanda, è se riferisce all'output totale o all'output normalizzato. Cioè, se l'economia ha un tasso di crescita della produzione positiva, crescerà? O è un output normalizzato che non cambia senza elementi stocastici?$Y_t$$Y_t$

La mia terza domanda è: cosa significa veramente . A quanto ho capito, è solo . È corretto?$y_t$$\log Y_t$

Il fatto che esista un'equazione del consumo euler sembra supportare l'intuizione che è un percorso di uscita costante, non un valore costante costante, poiché il tasso di interesse reale è spesso positivo per l'economia. La mia confusione sorge da qui e non sono sicuro che si tratti di una comprensione corretta.$Y$

La log-linearizzazione viene eseguita in prossimità di uno stato stazionario con inflazione zero, output costante e markup costanti sul costo marginale, come indicato nella diapositiva 11 della presentazione Galí che si collega. Quindi è davvero inteso come un valore costante, il livello di output costante attorno al quale viene eseguita la linearizzazione del log. è solo il livello della produzione totale nel periodo , mentre è il valore di registro di produzione totale, come dici tu.Y t t y t = log Y $Y$$Y_t$$t$$y_t=\log Y_t$

Diversi punti aggiuntivi che sembrano essere rilevanti qui:

• Questa derivazione del modello new keynesiano di base viene eseguita supponendo che non vi sia crescita dell'output di tendenza allo stato stazionario. Possiamo solo essere sicuri che le equazioni log-linearizzate siano approssimativamente corrette per situazioni in cui qualsiasi deviazione da questo stato stazionario a crescita zero è sufficientemente piccola. Ovviamente, dal momento che viviamo in un mondo con una crescita tendenzialmente evidentemente positiva, questo è potenzialmente un problema - quindi questa è una preoccupazione molto valida da parte tua.
• In effetti, credo che le equazioni siano molto simili quando log-linearizziamo attorno a uno stato stazionario con crescita della produttività tendenziale positiva (ma mantenendo l'assunto di inflazione a tendenza zero). In particolare, quando dichiarato in termini di gap di output e tasso di interesse naturale come nell'equazione di Galí (10), l'equazione di Eulero intertemporale è esattamente la stessa (sebbene si noti che il tasso naturale di stato stabile è maggiore, dove è il tasso di crescita della tendenza del log della produttività). La nuova curva keynesiana di Phillips è un po 'più caotica: nel caso delle preferenze del registro , ci sono diverse cancellazioni e otteniamo esattamente lo stesso NKPC, ma per altrig a σ = 1 σ $r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$$g_a$$\sigma=1$$\sigma$il tasso di sconto sull'inflazione futura non è più . Questo è molto più fastidioso da affrontare, tuttavia, motivo per cui Galí lo ha evitato per la semplice esposizione e bloccato con lo stato stazionario a crescita zero.$\beta$
• Come accennato in precedenza, né , , né sono "output normalizzati" di alcun tipo. Tuttavia, l'output gap definito nell'equazione di Galí (7) è un output di log effettivamente normalizzato, sottraendo dal log "output naturale" che ci aspetteremmo in modo flessibile mondo -price dato la produttività registro . In questo senso, il modello può adattarsi alle fluttuazioni della produttività; ma come detto sopra, se queste fluttuazioni sono troppo grandi, allora la log-linearizzazione attorno alla crescita dell'andamento zero inizia a crollare e se dobbiamo riscrivere l'NKPC in una forma diversa per tener conto di ciò.Y t y t ˜ y t ≡ y t - y n t y n t a t σ ≠ $Y$$Y_t$$y_t$$\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$$y_t^n$$a_t$$\sigma\neq 1$
• Infine, sono un po 'confuso dall'ultimo paragrafo, ma sembra implicare che il modello potrebbe avere un tasso di crescita positivo, "poiché il tasso di interesse reale è spesso positivo per l'economia". Questo è un fraintendimento: il tasso di interesse reale allo stato stazionario in questo modello è positivo perché gli agenti nel modello hanno una preferenza temporale pura, con un tasso di sconto . Se guardi sotto l'equazione di Galí (10), vedi che quando non c'è cambiamento di produttività il tasso di interesse reale "naturale" è , dove .r n t = ρ ρ = - log $\beta<1$$r_t^n = \rho$$\rho=-\log \beta$

Il seguente post spiega in un modo un po 'più semplice cosa sta succedendo esattamente quando registriamo linearizzare un modello.

http://economictheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

L'esempio fornito dovrebbe chiarire quali sono i singoli passaggi.

Divulgazione completa: non ho letto gli appunti delle lezioni che mi hai fornito con particolare attenzione, ma penso di poter rispondere alla tua domanda.

Modifica: Heads up, non leggendo attentamente il link fornito dalla domanda, ho perso qualcosa.

I modelli New Keynesiani standard (come quello presentato da Gali) sono modellati senza crescita. Se si annota il modello, è possibile rappresentarlo come equazione di differenza:

$$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$$

dove contiene tutte le variabili rilevanti e rappresenta gli shock per l'economia. Lo "stato stazionario" si riferisce in genere allo stato del mondo in cui è costante (pensa a una soluzione stabile per un'equazione differenza / differenziale) e , quindi potresti scriverlo come soluzione per:$X_t$$Z_t$$X_t$$Z_t = 0$

$$0 = F(X, X, X, 0)$$

nel qual caso sarebbe il valore dello stato stazionario (notate non gli abbonamenti temporali - a volte anche denotando lo stato stazionario con le barre aeree ). Questo è ciò che chiama ed è un valore costante.$X$$\bar{X}$$Y$

Per la seconda domanda, non ho letto attentamente, quindi non posso essere sicuro al 100%, ma in genere quando una variabile è scritta come fa riferimento al valore effettivo che viene preso (ovvero se hai risolto il modello e simulato esattamente , questo è il valore che avrebbe).$X_t$

Per la terza domanda, penso che una comprensione più profonda della linearizzazione dei tronchi ti risponderà. La linearizzazione del tronco nel suo cuore è solo un'espansione di Taylor attorno allo stato stazionario. Considera un'equazione generica . Ci sono 3 passaggi di base per la linearizzazione dei log ( qui ho aggiornato la mia memoria ).$f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$

• Prendi i registri
• Espansione Taylor del Primo Ordine
• Algebra

Prima prendiamo i tronchi,

$$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$$

Se facciamo un'espansione di Taylor del Primo ordine attorno allo stato stazionario, allora possiamo scrivere:

$$\ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$$

$$\ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Quindi possiamo scrivere:

$$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Ricordiamo che allo stato stazionario e I anche moltipliceremo per uno in più punti ( ecc ...), quindi$f(X, Y) = g(Z)$$\frac{X}{X}$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$

Ora definisci , e . Questa è la deviazione percentuale di da (e corrispondentemente per e ). Quindi è possibile scrivere l'equazione log linearizzata come:$\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$$\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$$\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$X_t$$X$$Y_t$$Z_t$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$$

Due cose finali. Innanzitutto, una sottigliezza che mi ha colto alla sprovvista la prima volta che stavo passando tra la deviazione percentuale e i valori reali e potresti voler essere consapevole; i valori che non sono normalmente negativi possono essere negativi perché significa solo che è quella percentuale sotto lo stato stazionario. In secondo luogo, le forme funzionali di solito semplificano abbastanza bene come probabilmente avete visto nelle equazioni log-linearizzate presentate.

In questo esempio, Gali sta usando come visto nell'altra risposta, quindi spero che questo fornisca alcune intuizioni per ciò che sta accadendo altrove.$y_t := \log Y_t$

Spero che questo abbia aiutato.