predire

Il mio modello stimato è

Mi viene chiesto di trovare un IC predittivo con una sicurezza del 95% per la media di $y_0$, quando $x_{02}=250$, e $x_{03}=8$. Lo supponiamo$s^2 x_0(X^TX)^{-1}x_0^T=0.000243952$, dove $x_0=(250,8)$.

Ho una soluzione di un anno precedente, che va così:

Trovo il CI del modulo $\text{CI}(E[ln(y_0)|x_0])=\left[\hat\ln(y_t)-t_{\alpha/2}s_E,\hat \ln(y_t)+t_{\alpha/2}s_E\right]$, dove $t$ è il $\alpha/2$ quantile superiore della distribuzione $t(n-k)$ e $s_E=\sqrt{0.000243952}$. Questo mi dà$[7.1563,7.2175]$.

Quindi l'autore lo fa $\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{7.1563},e^{7.2175}]=[1282.158,1363.077]$.

Non sono d'accordo con quest'ultimo passaggio (per disuguaglianza di Jensen lo sottovaluteremo). In Intro to Econometrics di Wooldridge, a pagina 212, afferma che se siamo sicuri che i termini di errore sono normali, uno stimatore coerente è:

Quindi stavo pensando di farlo

È corretto?

Inoltre, la soluzione a questo esercizio afferma che $\text{CI}(E[y_0|x_0])=[624.020,663.519]$, che è tutt'altro che una soluzione che ho.

Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato.

PS: ho anche letto che la correzione non dovrebbe essere utilizzata per l'IC ma solo per la stima puntuale $\hat E[y_0|x_0]$

Non trovi la stessa risposta a causa di quello che sospetto sia un errore tipografico, che sarebbe quindi la ragione principale del tuo problema: $x_{03}$ sarebbe impostato su $80$no $8$. Un'altra possibilità, se continui$x_{03}=8$, è un errore nel secondo coefficiente stimato, ad esempio, $\hat{\beta}_2 = -0.1$ invece di $-0.01$.

Comunque, una di queste modifiche risolve tutto e produce lo stesso risultato della soluzione a questo esercizio.

Considerando questo cambiamento, con $t_{\alpha/2}=1.96476138969835$, uno ottiene

Metodo 1

$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{6.43618291164626},e^{6.49755798189177}]=[624.020307335178,663.519326788772]$ (la soluzione data a questo esercizio)

o

Metodo 2

però

è improbabile che il metodo 2 sia corretto, poiché, come menzionato nella domanda, [...] la correzione (sottostimata) non dovrebbe essere utilizzata per l'IC ma solo per la stima puntuale.

Perché ? Direi a causa della dipendenza tra i due termini, conoscendo le aspettative di$e^{s^2/2}$ da un lato e $\hat{y_0}$ d'altra parte non significa che si conosca quello di $e^{\frac{s^2}{2} + \hat{\ln(y_0)}}$.

La previsione dei punti e CI sono diversi.

Per la previsione puntuale, stiamo meglio correggendo il bias il più possibile. Per CI, ciò che è richiesto dall'inizio è che la probabilità sia uguale$100(1-\alpha)\%$. quando$[a,b]$ è il 95% CI per $\ln(y_0)$ per esempio, $[e^a,e^b]$ è certamente un IC al 95% per $y_0$ perché $P(a\le \ln X\le b) = P(e^a \le X \le e^b)$. Quindi il tuo$[e^{7.1563}, e^{7.2175}]$ è certamente un elemento della configurazione valido.

Ma il centro di questo CI non è né l'ingenuo predittore (exp [predittore di $\ln y_0$]) né il predittore corretto di $y_0$(un fattore di correzione moltiplicato per l'ingenuo predittore) a causa della disuguaglianza di Jensen, ma non importa. In alcuni casi (non sempre), potresti essere in grado di modificare l'elemento della configurazione$[e^{a-p}, e^{b-q}]$ per alcuni $p$ e $q$ quindi la probabilità è ancora del 95% e il suo centro è il predittore corretto dal bias, ma non ne vedo il punto.

Quello che hai suggerito, cioè $[e^{s^2/2}e^a,e^{s^2/2}e^b]$non è un IC al 95%. Per capire perché, lascia che sia il fattore di correzione$h$ (non casuale e perfettamente noto, per semplicità), quindi è il predittore corretto dal bias $he^{\theta}$, dove $\theta$ è il predittore imparziale di $\ln y_0$ ($\hat\beta_0 + \hat\beta_2 \ln x_2 + \hat\beta_3 x_3$nel tuo esempio). Questo "$h$"può essere stimato da $e^{s^2/2}$ per esempio, ma mentre quest'ultimo è casuale, $h$è considerato non casuale al fine di renderlo semplice. Permettere$[a,b]$ essere il 95% CI per $\ln y_0$cioè $P(a\le \ln y_0\le b)=0.95$. Poi,

MODIFICARE

Quanto sopra riguarda l'IC di $y_0$, non di $E(y|X=x_0)$. La domanda originale riguarda l'IC per$E(y|X=x_0)$. Permettere$E(y|X=x_0) = h\exp(x_0\beta)$, che è stimato da $\hat{h} \exp(x_0 \hat{\beta})$. In tal caso, penso che il metodo Delta sia un'opzione utile (vedi la risposta di luchonacho).

Per essere rigorosi, abbiamo bisogno della distribuzione congiunta di $\hat{h}$ e $\hat\beta$o, per essere precisi, la distribuzione asintotica del vettore $\sqrt{n}[(\hat\beta-\beta)', \hat{h}-h]'$. Quindi la distribuzione limite di$\sqrt{n}[\hat{h} \exp(x_0\hat{\beta}) - h\exp(x_0\beta)]$ è derivato usando il metodo Delta e quindi CI per $h\exp(x_0\beta)$ può essere costruito.

Usa il metodo Delta . Pronuncia la distribuzione asintotica di grandi campioni di un singolo parametro$\beta$ è:

(supponendo che la tua stima sia coerente)

Inoltre, sei interessato a una funzione di $\hat{\beta}$diciamo $F(\hat{\beta})$. Quindi, un'approssimazione di Taylor del primo ordine di quanto sopra porta alla seguente distribuzione asintotica:

Nel tuo caso, $F(\hat{\beta})$ è $e^\hat{\beta}$. Da qui, puoi costruire l'IC come di consueto.

Fonte e maggiori dettagli nel documento collegato.