È possibile derivare curve di indifferenza data la funzione di domanda marshalliana?

In un mondo a due buoni, una domanda marshalliana funzionerà in modo simile a D(p,m)dove p è il prezzo di un bene e m il reddito produrrà una funzione di utilità o una curva di indifferenza? Se è così, come si può risolvere questo?

microeconomics utility consumer-theory

— Howard Black
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Sì, a certe condizioni. Questo è il classico problema di integrabilità : per una discussione dettagliata, vedere alcune note eccellenti di Kim Border .

Sono necessarie diverse altre condizioni tecniche, ma la condizione economicamente più sostanziale è che la matrice di Slutsky deve essere sempre semidefinita simmetrica e negativa. Per essere concreti, se definiamo -esimo elemento della matrice Slutsky a di essere $ij$ $(p,m)$ allora dobbiamo avereper tutti, e anche per ogni vettoredobbiamo avere per tutti Lanecessità

σ_{io j} (p, m) = \frac{\partial D_{io} (p, m)}{\partial p_{j}} + D_{j} (p, m) \frac{\partial D_{io} (p, m)}{\partial m}

$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$

σ_{i j} (p, m) = σ_{j i} (p, m)

$\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$

(p, m)

$(p,m)$

v

$v$

(p, m)

$(p,m)$

\underset{io}{Σ} \underset{j}{Σ} σ_{io j} (p, m) v_{io} v_{j} \leq 0

$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$ di queste condizioni deriva immediatamente dalla teoria di base del consumatore, che mostra che se la domanda marshalliana deriva da una massimizzazione vincolata di una funzione di utilità, allora la matrice di Slutsky è semidefinita simmetrica e negativa. Ma la sufficienza di queste condizioni (insieme ad alcune altre ipotesi tecniche) per noi per annullare una funzione di utilità è una questione più complicata, e per ottenere i dettagli raccomando le note di Border o qualche altra micro-sorgente avanzata.

$i=1,2$

\frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{io}} = h_{io} (p, u) = D_{io} (p, e (p, u))

$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$

D

$D$

e

$e$

(\bar{p}, \bar{m})

$(\bar{p},\bar{m})$

\bar{u}

$\bar{u}$

e (\bar{p}, \bar{u}) = \bar{m}

$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$

p_{1}

$p_1$

i = 1

$i=1$

e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u})

$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$

p_{1}

$p_1$

h (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}) = D (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}))

$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$

p_{1}

$p_1$

$\bar{u}$ $p_1$ $p_1$

— nominalmente rigido
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