La relazione tra la funzione di spesa e molte altre!

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Non capisco le relazioni tra domanda hicksiana, domanda walrasiana (marshalliana), funzione di spesa e funzione di utilità indiretta (inclusa la funzione di valore V (b)). Ho trovato questo argomento molto difficile e non riesco a capire come si relazionano l'uno con l'altro a causa della formalità usata nei libri che ho a disposizione!

Capisco come derivare l'utilità indiretta, tuttavia, devo essere a mio agio per mostrare come posso usarlo per derivare la funzione di spesa e il resto e come differiscono nelle dualità!

microeconomics consumer-theory utility

— Arie
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Seguendo l'eccellente diagramma di MWG nella risposta di Amstell, l'osservazione fondamentale necessaria è che mantenere fisso, e $p$ $e$ sonoinversi l'uno dall'altro. ci dice l'importo che dobbiamo spendere per ottenere una certa quantità di utilità , mentre ci dice la quantità massima di utilità che possiamo ottenere da una certa spesa . Ogni volta che vogliamo convertire da utilità a ricchezza, usiamo ; e ogni volta che vogliamo convertire da ricchezza in utilità, usiamo . $v$ $e$ $u$ $v$ $w$ $e$ $v$

Tutte le identità chiave possono essere derivate da questa osservazione. Ad esempio, supponiamo di voler derivare un'identità per . Conosciamo già l'identità corrispondente per la funzione di spesa, . Per trasformare questo in un'identità per , sostituiamo $\partial v(p,w)/\partial p_i$ $\partial e(p,u)/\partial p_i=h_i(p,u)$ $v$ $w=e(p,u)$ , ottenendo , e differenziando rispetto a . La regola della catena implica $v(p,e(p,u))=u$ $p_i$ che, se dividiamo persu entrambi i lati, diventa l'identità di Roy.

\frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial p_{io}} + \frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{io}} = 0 ⟺ \frac{\partial v (p, w)}{\partial p_{io}} = - \frac{\partial v (p, w)}{\partial w} \cdot X_{io} (p, w)

$\frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} =0\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_i} = -\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

- \partial v / \partial w

$-\partial v/\partial w$

Oppure, supponiamo di voler derivare l'equazione di Slutsky, che fornisce la relazione tra i derivati della domanda marshalliana e hicksiana (decomposizione di una variazione della domanda marshalliana in sostituzione e effetti sul reddito). Analogamente a quanto sopra, possiamo sostituire nella domanda marshalliana per ottenere . Quindi, differenziando rispetto a $w=e(p,u)$ $x(p,w)$ $x(p,e(p,u))=h(p,u)$ su entrambi i lati e l'applicazione della regola della catena dà $p_i$ In generale, penso che il "passaggio tra euristicaecome necessario usandoe" consente di ottenere praticamente tutto qui. (A euristica simile è utile anche se mai a che fare con sistemi di domanda Frisch, dove utilità marginalegioca lo stesso ruolo cheefare a sistemi di domanda hicksiano marshalliano e.)

\frac{\partial X (p, e (p, u))}{\partial p_{io}} + \frac{\partial X (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{io}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{io}} ⟺ \frac{\partial X (p, w)}{\partial p_{io}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{io}} - \frac{\partial X (p, w)}{\partial w} \cdot X_{io} (p, w)

$\frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i}\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial x(p,w)}{\partial p_i}=\frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i} - \frac{\partial x(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

w

$w$

u

$u$

v

$v$

e

$e$

λ

$\lambda$

w

$w$

u

$u$

Naturalmente, c'è un altro fatto chiave usato sopra, che è , che per diventa . Questo è meglio visto, invece, come conseguenza diretta del venerabile $\partial e(p,u)/\partial p_i = h_i(p,u)$ $w=e(p,u)$ $\partial e(p,u)/\partial p_i = x_i(p,w)$ teorema dell'involucro .

$\partial v/\partial p_i$ $p_i$ $\partial v/\partial w$ $\partial v/\partial p_i$ $\partial e/\partial p_i$

— nominalmente rigido
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Non sono sicuro di quanto ciò possa aiutare, ma il diagramma in Mas-Colell p.75 è qualcosa che ho sempre in mente quando si derivano queste funzioni. Non sono sicuro di quali libri stai usando, ma Microeconomics di Mas-Colell et al. è la risorsa per laureati. Ma preferisco l'analisi microeconomica di Varian. Molto più facile da leggere e ha ancora i contenuti importanti necessari per il lavoro di livello universitario. Dalla mia esperienza, derivare il maggior numero possibile di richieste walrasiane e solo lavorare sul processo è ciò che mi ha fatto sentire a mio agio con la comprensione. Se stai cercando degli esempi, posso applicare alcune formule per mostrarti come funziona, ma sembra che tu lo capisca. Ho anche pagine e pagine di problemi pratici se hai bisogno anche di un'altra risorsa. Spero che sia di aiuto :)

Microeconomia: Mas-Colell

Aggiornamento: ecco alcuni problemi pratici di alcuni dei miei insiemi di problemi. Attento con l'ultimo. Godere

Se possibile, calcola Hicksian, Walrasian, Expenditure e Indirect per ciascuno dei seguenti:

$e(p,u) = (p_{1} + p_{2})u$
$e(p,u) = p_{1} +p_{2} + up_{1}$
$h(p,u) = ( \frac{up_{2}}{p_{1}} , \frac{up_{1}}{p_{2}})$
$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

Modificare ; Aggiornamento per spiegare # 4

$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

A prima vista, puoi vedere che tutta la ricchezza viene utilizzata per ogni domanda $(x_{1}, x_{2})$ , che non è possibile dato il vincolo di reddito

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} = w$ .

Una delle proprietà della domanda walrasiana è la legge di Walras.

Legge di Walras: $px = w$

Un modo semplice per dimostrare che la legge di Walras non regge è quello di collegare semplicemente le richieste per il vincolo di reddito.

$p_{1} ( \frac{w}{p_{1}}) + p_{2} ( \frac{w}{p_{2}}) = w$

$2w \neq w$ ; pertanto la legge di Walras non regge e questa non è una richiesta walrasiana.

— Amstell
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