Denaro in funzione di utilità - Funzione valore

Sto leggendo il libro di Walsh (2003) sull'economia monetaria. In particolare il capitolo sul denaro nella funzione di utilità. Capisco le basi di un valore funziona ma non riesco a ottenere gli stessi risultati dell'autore.

Dove

I.e il vincolo di bilancio pro capite. Quindi trova un'espressione per $ w_ {t + 1} $:

Questa è la prima fonte della mia confusione. Precedentemente definisce l'output per lavoratore in funzione del capitale per lavoratore, cioè $ y_ {t} = f (\ frac {k_ {t-1}} {1 + n}) $ dove $ n $ è il tasso di crescita della popolazione. Ma all'improvviso lo cambia in $ \ frac {f (k_ {t-1})} {1 + n} $. Sono consapevole che ci sono molti refusi in questo libro, è solo uno di questi o mi manca qualcosa di banale?

In ogni caso, usa il vincolo di budget per esprimere $ k_ {t} $ come $ w_ {t} -c_ {t} -m_ {t} -b_ {t} $ e la definizione di $ w_ {t + 1} $ per esprimere la funzione valore come:

Ora, non so se è perché sono privato del sonno o perché c'è un errore di battitura, ma proprio non riesco a ottenere gli stessi risultati di Walsh. E.g, differenziando w.r.t $ c_ {t} $ ottengo:

$ u_ {c} (c_ {t}, m_ {t}) + \ beta * V_ {w} (w_ {t + 1}) [\ frac {-f '(w_ {t} -c_ {t} - m_ {t} -b_ {t})} {1 + n} (- 1) + \ frac {1+ \ delta} {1 + n} (- 1)] $

Mentre Walsh ottiene

Mi manca qualcosa di ovvio o c'è un refuso?

Grazie in anticipo!

Il tuo calcolo ha due errori di battitura a) tu scrivi due volte il segno meno relativo a $ f '$ eb) scrivi $ (1+ \ delta) $ invece di $ (1- \ delta) $. Se correggiamo per questi abbiamo

$$ u_ {c} (c_ {t}, m_ {t}) + \ beta V _ {\ omega} (\ omega_ {t + 1}) \ left [\ frac {f '(\ omega_ {t} -c_ {t} -m_ {t} -b_ {t})} {1 + n} (- 1) + \ frac {1- \ delta} {1 + n} (- 1) \ right] $$

Tirando fuori il segno meno e $ 1 / (1 + n) $, e compattando $ f '(\ omega_ {t} -c_ {t} -m_ {t} -b_ {t}) = f_k (k_t) $ abbiamo

$$ u_ {c} (c_ {t}, m_ {t}) - \ frac {\ beta} {1 + n} V _ {\ omega} (\ omega_ {t + 1}) \ left [f_k (k_t) + 1- \ delta \ right] $$

che è l'espressione del libro.

Per quanto riguarda la definizione di produzione per lavoratore:
Dato il chiarimento nei commenti, l'output aggregato durante il periodo $ t $ è

$$ Y_t = F (K_ {t-1}, N_ {t}) $$

mentre $ N_t = N_ {t-1} (1 + n) $.

Suppongo che i rendimenti di scala costanti siano assunti in modo tale che le grandezze pro capite siano

$$ y_t = \ frac {Y_t} {N_t} = F \ left (\ frac {K_ {t-1}} {N_t}, \ frac {N_ {t}} {N_t} \ right) = F \ left ( \ frac {K_ {t-1}} {N_ {t-1} (1 + n)}, 1 \ right) $$

Ora, considera qui il problema notazionale / concettuale: tenderemo "automaticamente" a scrivere $ K_ {t-1} / N_ {t-1} \ equiv k_ {t-1} $ a causa dello stesso indice, ma $ K_ {t-1} / N_ {t-1} $ è economicamente privo di significato perché $ K_ {t-1} $ non è combinato in produzione con $ N_ {t-1} $ . Questo rapporto descrive "capitale utilizzato nel periodo $ t $ per lavoratore nel periodo $ t-1 $".

Comunque, Se dichiariamo chiaramente nella costruzione del modello che definiamo $ k_ {t-1} $ in questo modo, quindi finiamo con

$$ y_t = f \ left (\ frac {k_ {t-1}} {1 + n} \ right) $$

e il vincolo di budget per il periodo $ t $ è corretto mentre quello per il periodo $ t + 1 $ non lo è. In che modo influisce sulla condizione del primo ordine rispetto al consumo?

(Si noti che con queste convenzioni notazionali, "capitale per lavoratore durante il periodo $ t $" è $ _ {t-1} / (1 + n) $ - Ho discusso altrove perché è preferibile che i modellisti adottino il significato che $ k_ {t-1} $ rappresenta il valore all'inizio del periodo $ t-1 $ e quindi viene utilizzato nella produzione del periodo $ t-1 $).