Cobb-Douglas nidificato nel modello CES

Supponiamo, usando la seguente equazione , facciamo un (otteniamo) l'evoluzione di e . Possiamo interpretare come indice di cambiamento tecnico che fa risparmiare lavoro poiché aumenta la manodopera nel modello?$Y=[((A_1L)^\alpha K^\beta)^\sigma+ (A_2X^\gamma)^\sigma]^{1/\sigma}$$A_1$$A_2$$A_1$

Pensa alla tua funzione come

dove (ho rimosso bit non necessari come ed esponente di ). Questo è un CES standard, in cui l'uso ottimale di e dipende da e .$Q=L^\alpha K^\beta$$\gamma$$A_i$$Q$$X$$\frac{A_1}{A_2}$$\sigma$

Per una sostituzione relativamente bassa ( ), un aumento di ( tenendo i prezzi dei fattori fissi ): le imprese che fanno uso di tale aumento ulteriore della produttività del fattore , utilizzando meno di esso e più di . Poiché corrisponde a una modifica neutra rispetto a , utilizzerai il pacchetto con lo stesso rapporto iniziale rispetto a prima della modifica in . Pertanto, sarà ridurre sia e . Di conseguenza, un aumento di potrebbe essere considerato come un cambiamento tecnico che fa risparmiare lavoro$\sigma<0$$A_1$$Q$$X$$A_1$$Q$$Q$$K/L$$A_1$$K$$L$$A_1$rispetto a$X$ e in valore assoluto (sebbene si noti che rimane invariato).$K/L$

È vero il contrario se , vale a dire un aumento porta ad un maggiore uso di rispetto a , ampliando in tal modo l'uso di e .$0<\sigma \leq 1$$A_1$$Q$$X$$L$$K$

Nel frattempo, nel caso intermedio ( ), la funzione collassa in un Codd-Douglas:$\sigma=0$

dove . Qui una variazione non influenza il rapporto K / L, anche se esso influenza il rapporto ottimale rispetto alla . Ma comunemente il cambiamento tecnico è però un cambiamento in alcuni piuttosto che nell'elasticità dei fattori, quindi questo caso non si adatta bene a quanto sopra. Penso che ciò potrebbe essere dovuto al fatto che la funzione originale non è correttamente normalizzata . Questo è, i termini e non si sommano a uno, il che è necessario dato il presupposto originale di rendimenti di scala costanti.$\phi = \frac{A_1}{A_1 + A_2}$$A_1$$X$$A$$A_1$$A_2$