Un consumatore con reddito $ m $ ha preferenze $ U (x, y) = x ^ ay ^ {1-a} $ dove a è compreso tra 0 e 1. Un governo paternalistico vuole regolare le scelte del consumatore per massimizzare il proprio funzione di benessere: $ w (x, y) = \ min (x, y) $. I prezzi di mercato sono $ p_x $ e $ p_y $.
A. Supponiamo che il governo possa imporre un limite al consumo di entrambi i beni. In base a quale condizione di parametro è necessario posizionare un limite su $ x $ buoni? B. Supponiamo, invece, che il governo fornisca un sussidio per unità su buoni $ x $ e addebiti una somma forfettaria $ t $. Deriva la domanda marshalliana per qualsiasi $ (s, t) $. C. Una politica $ (s, t) $ è in pareggio di bilancio se il sussidio totale ha pagato la stessa tassa. Ricavare una relazione tra $ s $ e $ t $ che deve essere soddisfatta da qualsiasi politica di bilancio equilibrata. D. Dal punto di vista del governo, trova valori di capitale ottimali soggetti a un bilancio in pareggio.
Ecco come l'ho provato: Parte A: Utilizzando metodi di ottimizzazione, dal punto di vista del consumatore: $$ X ^ * = (x ^ *, y ^ *) = \ left (\ frac {am} {p_x}, \ frac {(1-a) m} {p_y} \ right) $$
Tuttavia, il benessere del governo è massimizzato a: $$ X ^ g = (x ^ g, y ^ g) = \ left (\ frac {m} {p_x + p_y}, \ frac {m} {p_x + p_y} \ right) $$
Quindi, ho preso in considerazione due casi: $$ 1. X ^ * & gt; X ^ g $$ $$ 2. X ^ * & lt; X ^ g $$
Nel primo caso, il massimale del buon 2 sarebbe efficace mentre nel secondo caso il massimale del 1 sarebbe efficace, il massimale essendo la quantità ottimale dal punto di vista del governo. La condizione del parametro per il secondo caso, confrontando le quantità del bene, era:
$$ \ frac {p_y} {p_x} & gt; \ frac {1} {a} -1 $$
Parte B: Semplice problema di ottimizzazione:
$$ X ^ * = (x ^ *, y ^ *) = \ left (\ frac {a (mt)} {p_x - s}, \ frac {(1-a) (mt)} {p_y} \ right ) $$
Parte C: Mettendo $ sx ^ * = t $ $$ s = \ frac {p_x t} {a (m-t) + t} $$ Parte D: Non sono sicuro che il metodo che ho usato sia corretto o meno.
Il benessere del governo è massimizzato a: $$ X ^ g = (x ^ g, y ^ g) = \ left (\ frac {m-t} {p_x + p_y-s}, \ frac {m-t} {p_x + p_y-s} \ right) $$
Inoltre, poiché il bilancio è equilibrato, quindi, $$ s * \ frac {m-t} {p_x + p_y-s} = t $$
Ora ho messo il rapporto s & t dalla parte c dell'identità di bilancio bilanciata di cui sopra
$$ t ^ * = \ frac {m (p_x (1-a) -ap_y)} {(p_x + p_y) (1-a)} $$
$$ s ^ * = p_x - \ frac {a p_y} {1-a} $$
Qualcuno può dare un'occhiata alla mia soluzione e vedere se l'ho fatto correttamente?