Differenziazione della funzione di valore in Burdett Mortensen (1998)

Attualmente sto attraversando il classico documento di Burdett e Mortensen sulla ricerca di lavoro. Quello che dovrebbe essere un compito facile per trovare un'espressione per il salario di prenotazione è reso leggermente più complicato dalla presenza dell'operatore max. Siamo di fronte alla seguente equazione di Bellman per il valore di un lavoro che paga un salario$w$. Le equazioni del fattorino sono standard. Il valore di un lavoro che paga$w$ consiste nel salario $w$ oltre al guadagno atteso dalla ricerca e dalla ricerca di un lavoro migliore scontato dalla probabilità che si verifichi un'offerta di lavoro $\lambda_1$ più la perdita dovuta al fatto di diventare disoccupati quando il lavoro viene distrutto a un certo ritmo $\delta$. Il valore della disoccupazione$V_0$ consiste nell'indennità di disoccupazione $b$ più il guadagno atteso dal diventare impiegato scontato dalla probabilità che un'offerta si presenti $\lambda_0$. Si noti che la probabilità di un'offerta è diversa a seconda che qualcuno sia già impiegato o disoccupato. La distribuzione delle offerte è data da$F$

$$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$$ $$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$$ Poiché sta aumentando in e è indipendente da esso, sappiamo che esiste un salario di prenotazione tale che se , e . Gli argomenti standard (integrazione per parti) mostrano che da qui Vorrei prendere la derivata della prima equazione e risolvere per . Tuttavia, se utilizzo la regola di integrazione di Leibniz$V_1(w)$$w$$V_0$$w>R\implies V_1(w)>V_0$$w<R\implies V_1(w)<V_0$$V_1(R)=V_0$ $$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$$ $V_1'(w)$Ho bisogno che l'integrando sia differenziabile. Il massimo di due funzioni continue di solito non è differenziabile quando sono uguali, quindi ho un problema. Se presumo che mi integri su tutto allora$\tilde{x}\geq w$$V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$(offerte salariali che indurranno un lavoratore a cambiare lavoro) e il risultato segue la regola di Leibniz. Ma ci sono salari nella distribuzione che non saranno accettati e questo derivato non regge. Il derivato è $$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$$ Immagino che mi manchi qualcosa ma non sono sicuro di cosa. Se qualcuno potesse darmi qualche consiglio, lo apprezzerei davvero.

Quando si prende l'integrale di a $\max_{\{\cdot\}}$ operatore, penso che devi dividere l'integrale in due integrali separati con supporti diversi su di essi.

Anche se la funzione del valore è complicata e non vi è alcuna differenziabilità, è necessaria solo continuità per l'esistenza di una soluzione per risolvere il problema di ottimizzazione.

Ecco il mio tentativo, in cui presumo un limite superiore assoluto sul supporto di $F$, $F(\overline{w})=1$, per semplicità.

Riscrivi la prima equazione come

$$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$$ per cui $$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$$

I termini $I$ e $II$ annullare, in modo che l'organizzazione dà

$$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$$ Se applichiamo la regola di Leibniz, lo sappiamo $$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$$ per cui segue l'uguaglianza ultima $F(\overline{w})=1$. Risolvendo per$V_1'(w)$ dà la soluzione desiderata.