Specifiche di questa forma trattano del lavoro e il tempo libero 1 - h t come due modi alternativi di spesa per un totale di dotazione tempo . Il lavoro può essere usato come input per la funzione di produzione, mentre il tempo libero entra direttamente nella funzione di utilità come fine desiderabile a sé stante.ht 1 - ht
In questo ambiente, ci sono molte normalizzazioni equivalenti. Non è necessario dire che la dotazione di tempo totale è 1; invece, potremmo altrettanto facilmente dire che è 100 e modificando di conseguenza la funzione di produzione e la funzione di utilità otterremmo un modello isomorfo. Non c'è niente di speciale in ogni particolare normalizzazione.
Detto questo, data una particolare forma funzionale per l'utilità , spesso importa come definiamo la dotazione temporale , e questo problema ha giocato un ruolo importante e in qualche modo imbarazzante nella storia di RBC. In particolare, se normalizziamo la "dotazione di tempo" totale a 1 e diciamo che h t è la frazione di lavoro della dotazione di tempo, allora può importare molto se definiamo che la dotazione di tempo è 24 ore al giorno per tutti gli individui, limite al tempo di non dormire, al limite di tempo di non dormire degli adulti in età lavorativa, ecc.uht
Perché è importante? Il modello base RBC ha tipicamente assunto che utilità intratemporal dipende da un composito costante rendimenti di scala consumo e svago l t . Detto questo, possiamo dedurre che questo composito deve avere una costante elasticità di sostituzione di 1 dal fatto che l'offerta di lavoro a lungo termine sembra approssimativamente stabile anche se la produttività e i salari reali hanno una forte tendenza al rialzo. (Vedi, ad esempio, pagine 6 e 7 di Prescott 1986 ). Un'elasticità di 1 significa che il composito è Cobb-Douglas nel consumo e nel tempo libero, assumendo la forma c 1 - ϕ t l ϕ t per alcuni ϕ .ctltc1 - ϕtlφtφ
I modelli RBC assumono quindi generalmente una costante elasticità intertemporale della sostituzione per questo composito, dandoci la funzione di utilità del periodo trovata a pagina 6 di Prescott (1986) :
u ( c t , l t ) = [ c 1 - ϕ t l ϕ t ] 1 - γ - 11 / γ
Nel caso speciale comune con elasticità intertemporale unitaria di sostituzione1/γ=1, quanto sopra si riduce semplicemente a
u ( c t , l t ) = ( 1 - ϕ ) log c t + ϕ log l t
Ora, uno caratteristica importante di un modello macroeconomico dinamico è l'elasticità di Frisch dell'offerta di lavoro
u ( ct, lt) = [ c1 - ϕtlφt]1 - γ- 11 - γ
1 / γ= 1u ( ct, lt) = ( 1 - ϕ ) logct+ ϕ loglt(1)
, che è l'elasticità dell'offerta di lavoro ai salari reali che mantengono costante l'utilità marginale del consumo. Ciò è importante perché determina come la famiglia sostituirà intertemporalmente il lavoro in risposta al modello intertemporale di salari reali e tassi di interesse reali.
In modo ottimale l'utilità marginale del tempo libero deve essere pari ai tempi salariali reali dell'utilità marginale del consumo, quindi per un'utilità marginale costante del consumo abbiamo la condizione
ϕλt
φlt= wtλt
ltwt- 1lt= 1 - ht htFrisch elasticity of labor=dht/htdwt/wt=−dlt/htdwt/wt=−ltht×dlt/ltdwt/wtFrisch elasticity of leisure=1−htht
h=3.14/24≈.13h≈.22
ctltdimostrano che se scartiamo questa ipotesi, una forma funzionale "KPR" più generale è coerente con il fatto stilizzato dell'offerta stabile di lavoro a lungo termine e possiamo potenzialmente calibrare questa forma più generale alle elasticità (molto più basse) stimate nel lavoro fornire letteratura piuttosto che imporre un'irresistibile elevata elasticità di Frisch da parte di Fiat.
Per ragioni che non capisco del tutto, gran parte della letteratura RBC ha seguito Prescott (1986) e ha usato la parametrizzazione dell'utilità "log-log" (1) sopra, piuttosto che calibrare il modulo funzionale KPR per abbinare l'elasticità stimata esternamente. Ciò è probabilmente dovuto a una combinazione di inerzia e praticità: l'elevata elasticità di Frisch garantita dalla parametrizzazione log-log aiuta a rendere il lavoro abbastanza volatile da corrispondere ai dati macro. E tutto ciò è collegato a un lungo e contorto dibattito sulla possibile differenza tra elasticità "micro" e "macro" - vedere le diapositive o il documento di Chetty per saperne di più.