Quando il controllo ottimale fallisce (?)

Per "porre la mia domanda", devo prima risolvere un modello. Tralascerò alcuni passaggi, ma ciò renderà inevitabilmente questo post molto lungo, quindi questo è anche un test per vedere se a questa comunità piacciono questo tipo di domande.

Prima di iniziare, chiarisco che questo può apparire totalmente come un modello di crescita neoclassica standard in tempo continuo, ma non lo è : si tratta di un singolo individuo, che non "rappresenta" nessun altro nell'economia che lo circonda, un'economia che non è modellato. Il framework qui è "l'applicazione del controllo ottimale al problema di massimizzazione di un singolo individuo". Si tratta del framework e del metodo della soluzione di controllo ottimale.

Risolviamo il problema di massimizzazione dell'utilità intertemporale di un piccolo imprenditore che possiede il capitale nella sua azienda, mentre acquista servizi di manodopera in un mercato del lavoro perfettamente competitivo e vende i suoi prodotti (ciambelle fresche) in un mercato di beni perfettamente competitivo. Impostiamo il modello in tempo continuo senza incertezza (le condizioni socioeconomiche sono costanti) e con orizzonte infinito (l'imprenditore immagina molte copie future di lui di fila):

max_{c, ℓ, k} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} \ln c d t s.t. \dot{k} = f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) k (t) = 0

$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$

dove $c$ è il consumo dell'uomo d'affari, $\ln c$ è l'utilità istantanea dal consumo, $\rho>0$ è il tasso di preferenza temporale pura, $k$ è il capitale dell'azienda, $\delta$ è il tasso di deprezzamento del capitale e $f(k,\ell)$ è la funzione di produzione dell'azienda. Viene indicato il livello iniziale di capitale, $k_0$ . La stessa occupazione dell'uomo d'affari con l'attività è riassunta in capitale. La funzione di produzione è neoclassica standard (rendimenti di scala costanti, prodotti marginali positivi, secondi parziali negativi, condizioni di Inada). I vincoli sono la legge del moto del capitale e la condizione di trasversalità che utilizza il moltiplicatore del valore corrente.

Impostazione del valore corrente Hamiltoniano

\hat{H} = \ln c + λ [f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c]

$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$

calcoliamo le condizioni del primo ordine

\frac{\partial \hat{H}}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac{1}{c} = λ \Rightarrow \frac{\dot{c}}{c} = - \frac{\dot{λ}}{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial ℓ} = 0 \Rightarrow λ [f_{ℓ} - w] = 0 \Rightarrow f_{ℓ} = w

$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial k} = ρ λ - \dot{λ} \Rightarrow λ [f_{k} - δ] = ρ λ - \dot{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$

e combinandoli otteniamo la legge dell'evoluzione del consumo del nostro uomo d'affari,

\begin{matrix} (1) & \dot{c} = (f_{k} - δ - ρ) c \end{matrix}

$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$

Dalla regola ottimale per la domanda di lavoro (statico) e la costante ritorna all'implicazione della scala ( ) otteniamo . Inserendolo nella legge del moto del capitale otteniamo $\ell: f_{\ell} =w$ $f = f_kk + f_{\ell}\ell$ $f-w\ell = f_kk$

\begin{matrix} (2) & \dot{k} = f_{k} k - δ k - c \end{matrix}

$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$

Le equazioni e formano un sistema di equazioni differenziali. I valori dello stato stazionario per il consumo e il capitale dell'uomo d'affari sono $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & c^{*} = f_{k}^{*} k^{*} - δ k^{*}, k^{*} : f_{k}^{*} = δ + ρ \end{matrix}

$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$

\begin{matrix} (3a) & \Rightarrow c^{*} = ρ k^{*} \end{matrix}

$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$

... che è un'espressione piuttosto familiare.

$k^*$ è talvolta chiamato il livello di capitale "regola d'oro modificata". Il giacobino del sistema valutato ai valori di stato stazionario ha un fattore determinante negativo per qualsiasi valore dei parametri del modello , che è una condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema mostri stabilità sul percorso della sella.

Il massimo del locus è nel punto, (a volte chiamato il livello di capitale "regola d'oro") $\dot k =0$ $\tilde k$

\begin{matrix} (4) & \tilde{k} : f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} + f_{k} (\tilde{k}) - δ = 0 \Rightarrow f_{k} (\tilde{k}) = δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$

La valore è importante come parametro di riferimento: è il livello di capitale dove e è ad un massimo (non ottimale o stato stazionario ). $\tilde k$ $\dot k =0$ $c$

Il attraversa l'asse orizzontale del diagramma di fase (che misura il capitale) a livello di capitale di stato stazionario . $\dot c=0$ $k^*$

Se , che richiede causa di secondari parziali negativi, avremo un "eccesso di accumulo di capitale" (troppe ciambelle): l'uomo d'affari potrebbe godere di più costante- consumo statale con un livello inferiore di capitale. Usando e abbiamo $k^* > \tilde k$ $f_k^* < f_k(\tilde k)$ $(3)$ $(4)$

f_{k}^{*} < f_{k} (\tilde{k}) \Rightarrow δ + ρ < δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k}

$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$

\begin{matrix} (5) & \Rightarrow ρ < - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$

La disuguaglianza è la condizione per un livello di capitale allo stato stazionario non ottimale. E il fatto è che non possiamo escluderlo . Richiede semplicemente che l'uomo d'affari sia "sufficientemente paziente", con un tasso sufficientemente ridotto di preferenza temporale pura, ma comunque positivo. $(5)$

Qui inizia il problema: l' eccesso di accumulo di capitale è effettivamente escluso nel modello di agente rappresentativo. È possibile sovrapporre modelli generazionali, ma come conseguenza involontaria a livello macroeconomico, uno dei primi esempi che la macroeconomia può essere micro-fondata e comportarsi comunque diversamente dal micro-mondo.

Ma il nostro modello non rientra in nessuna delle due categorie: è un modello di equilibrio parziale di un singolo agente in un ambiente implicitamente eterogeneo - e qui l'equilibrio generale non altererà i risultati: questa persona rappresenta solo se stesso. Quindi il problema è che se valido, la soluzione di controllo ottimale sarà ovviamente non ottimale , perché qui abbiamo una sola persona, una sola volontà, un'unica mente: guardando la soluzione il nostro uomo d'affari dirà: " ehi, questo metodo è inutile, se seguo i suoi consigli finirò con un livello di capitale subottimamente alto ". $(5)$

E non sono soddisfatto di dire semplicemente "beh, Optimal Control non è adatto a questo problema, prova un altro metodo", perché non riesco a capire perché dovremmo considerarlo inadatto. Ma se è adatto, allora il metodo dovrebbe segnale che qualcosa è sbagliato, dovrebbe ad un certo punto esigere che fa non tenere, per essere in grado di offrire una soluzione (se accade che non aspetta, tutto sembra gonfio). $(5)$ $(5)$

Ci si potrebbe chiedere "forse la condizione di trasversalità è violata se vale?" -ma non sembra che lo faccia, dato che , che va a una costante positiva, mentre va a zero, che richiede solo quello . $(5)$ $\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$ $e^{-\rho t}$ $\rho>0$

Le mie domande:

1) Qualcuno può offrire alcune informazioni qui?

2) Sarei grato se qualcuno avesse risolto questo problema usando la Programmazione dinamica e avesse riportato i risultati.

ADDENDUM
Da un punto di vista matematico, la differenza cruciale di questo modello è che la legge ottimizzata del moto del capitale, eq. include non l'intero output come nel modello standard, ma solo i rendimenti in capitale . Ciò accade perché abbiamo separato i diritti di proprietà sull'output, che nel quadro del "problema di massimizzazione delle singole attività" è prevedibile. $(2)$ $f(k)$ $f_kk$

economic-growth optimal-control dynamic-programming

— Alecos Papadopoulos
fonte

Non sono sicuro di cosa intendi quando dici "il massimo del locus kdot = 0". Massimo rispetto a cosa? Inoltre, quando calcoli (4), non dovresti differenziare totalmente (2) - cioè non dovresti anche calcolare la variazione in c necessaria per assicurarti che kdot = 0 sia ancora soddisfatto dopo aver cambiato k?

— Ubiquo

@Ubiquitious Maximum rispetto al capitale. Questo è esattamente il modo in cui vengono disegnati i diagrammi di fase, ma non ho potuto includere anche questi calcoli qui. Per la seconda domanda: deriva dall'impostazione di in e dall'espressione del consumo in funzione del capitale, ( non valutato al valore di stato stazionario). Per ottenere la forma di questo locus, lo differenziamo rispetto al capitale.

(4)

$(4)$

\dot{k} = 0

$\dot k =0$

(2)

$(2)$

c = f_{k} k - δ k

$c = f_kk-\delta k$

— Alecos Papadopoulos,

Non ho verificato il tutto, ma un problema che vedo è che la condizione di ottimalità del lavoro determinerà (in base al CRS) il rapporto capitale / lavoro, che a sua volta determina il prodotto marginale del capitale, che sarà quindi costante lungo il percorso ottimale. Il modello equivale quindi al normale problema di risparmio dei consumi con un tasso di interesse esogeno, quindi se MPK - delta> rho, il consumo dell'agente crescerà a un tasso costante (cioè non esiste uno stato stazionario).

— Ivansml

@ivansml. Grazie per aver contribuito. Ma la soluzione non dice che . Lo stato stazionario è nel punto in cui , eq. . Il problema è a quale livello di capitale corrisponde questo stato stazionario e se sarà al di sopra o al di sotto del livello di "regola d'oro" .

f_{k} - δ > ρ

$f_k -\delta >\rho$

f_{k} - δ = ρ

$f_k -\delta = \rho$

(3)

$(3)$

\tilde{k}

$\tilde k$

— Alecos Papadopoulos,

Solo ora ho notato che questa domanda è piuttosto vecchia ... spero che non abbia importanza. Torna all'argomento - deve essere determinato dalla FOC del lavoro. Lo stato stazionario esisterà solo se questo valore di eguaglia anche , cioè per coincidenza (o qualche considerazione generale sull'equilibrio). Se è più elevato, l'agente accumulerà il capitale indefinitamente e il suo consumo aumenta, se è inferiore, decumulerà il capitale e il suo consumo diminuirà. In realtà è tutto dovuto al presupposto del CRS - la funzione "entrate" è lineare in una volta che l'azienda ottimizza sul lavoro, quindi è possibile una crescita costante.

f_{k}

$f_k$

f_{k}

$f_k$

ρ + δ

$\rho+\delta$

f (k, ℓ) - w ℓ

$f(k,\ell) - w \ell$

k

$k$

— Ivansml

Risposte:

Credo che il problema sia che lo stato stazionario potrebbe non esistere e il sistema mostra invece una crescita costante (a seconda dei parametri).

Il motivo è perché il modello è equivalente al problema standard di risparmio dei consumi con tasso di interesse esogeno e costante. Per vederlo, prima considera la condizione del primo ordine per la scelta del lavoro (qui, è la derivata parziale di wrt. th argomento). Usando la definizione di rendimenti costanti, il prodotto marginale del lavoro è che è una funzione del solo rapporto capitale-lavoro. Se il salario è costante, la FOC del lavoro determina in modo univoco il ottimale $f_2(k,\ell) = w$ $f_i$ $f$ $i$

\frac{\partial}{\partial ℓ} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial ℓ} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1) \frac{- k}{ℓ} + f (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$ rapporto in funzione del salario e di altri parametri. Poiché prodotto marginale di capitale dipende anche da , sarà costante lungo il percorso ottimale. Indicare questo valore del prodotto marginale e indicare il rendimento al netto dell'ammortamento . Le equazioni (1) - (2) per la dinamica del capitale e del consumo sono quindi e la soluzione specifica che soddisfa la condizione di trasversalità dovrebbe essere

w

$w$

\frac{\partial}{\partial k} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial k} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$

r^{*}

$r^*$

r = r^{*} - δ

$r = r^* - \delta$

\begin{aligned} {\dot{c}}_{t} & = (r - ρ) c_{t} \\ {\dot{k}}_{t} & = r k_{t} - c_{t} \end{aligned}

$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$

c_{t} = ρ k_{t}

$c_t = \rho k_t$ con dato, cioè una parte costante della ricchezza viene consumata in ogni momento. Sia il capitale che i consumi crescono al ritmo , quindi non esiste uno stato stazionario a meno che il ritorno sul capitale (che qui dipende dal tasso salariale esogeno ) sia uguale al tasso di preferenza temporale.

k_{0}

$k_0$

(r - ρ)

$(r-\rho)$

w

$w$

— ivansml
fonte

(+1) Grazie. Lo sto prendendo ora in una mia risposta.

— Alecos Papadopoulos,

Bella risposta. fondamentalmente, una volta che la manodopera viene scelta in modo ottimale, la funzione di profitto diventa lineare nel capitale - in modo che questo modello si riduca a un modello AK, le cui proprietà (compresa la crescita dello stato stazionario) sono ben comprese.

— nominalmente rigido il

@nominallyrigid Ma solo se assumiamo che il salario rimanga costante . Ricorda che questo non è un equilibrio generale, solo un piccolo individuo che nuota nell'oceano dell'economia.

— Alecos Papadopoulos,

Sto pubblicando questo come una risposta, perché continua con la risposta dell'utente @ivansml ... che è quella che ha identificato la cattura qui, una cattura che ho ingenuamente ignorato (anche se è un caso ristretto, mentre viene dopo l'interessante par. Tuttavia, avrebbe dovuto essere trattato).

In effetti, con un tasso salariale esogeno e un'ottimizzazione perfettamente competitiva sulla domanda di lavoro, il prodotto marginale del capitale è determinato solo dai parametri del modello e dal tasso salariale. Per il semplice caso in cui ipotizziamo che il tasso salariale sia costante, l'analisi di @ivansml vale: il modello diventa uno di crescita endogena : il prodotto marginale del capitale è costante, che è ciò che è necessario per la crescita endogena, dove non esiste una stabilità stato in livelli .

Denotando e , è possibile scrivere le equazioni e dell'OP $\hat c = \dot c/c$ $\hat k = \dot k /k$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (1b) & \hat{c} = f_{k} - δ - ρ \end{matrix}

$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$

\begin{matrix} (2b) & \hat{k} = f_{k} - δ - c / k \end{matrix}

$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$

Poiché è costante, il tasso di crescita del consumo è costante - zero, positivo o negativo, a seconda dei parametri e del salario. D'altra parte differenziando rispetto al tempo che otteniamo $f_k$ $(2b)$

\dot{\hat{k}} = (\hat{k} - \hat{c}) \cdot (c / k)

$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$

ed è ovvio che per la crescita in regime stazionario vogliamo , che, da si ottiene solo se . È facile verificare che, poiché , l'unico modo in cui la condizione di trasversalità sarà valida, è se il consumo e il capitale crescono o si riducono allo stesso ritmo (o rimangono costanti). $\hat k = \hat c$ $(2b)$ $c = \rho k$ $\lambda(t) = c(t)$

Nei modelli di crescita endogena appropriati in cui esaminiamo l'intera economia, supponiamo solo che i parametri del modello siano tali che vi sia un tasso di crescita positivo, perché questo è ciò che osserviamo nel mondo reale. Ma qui, abbiamo solo un individuo. Quindi, cosa potremmo dire al nostro uomo d'affari?

Se , il tasso di crescita è positivo e sia il suo consumo che il suo capitale dovrebbero crescere "per sempre", mantenendo un rapporto costante. Se , il tasso di crescita è zero ed entrambe le variabili rimangono per sempre costanti. Se , il tasso di crescita è negativo e dovremmo entrare in una spirale discendente di consumi e capitale decrescenti (mantenendo sempre la relazione ). $f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$ $c= \rho k$

Ciò ha una certa intuizione, convalidando l'adeguatezza dell'applicazione del controllo ottimale: dati gli altri parametri e il tasso salariale, maggiore è l '"impazienza" (maggiore è il ), più possibile diventa che l'individuo sperimenterà livelli di consumo decrescenti, poiché il futuro, e quindi gli investimenti, non sono di suo gradimento. Naturalmente, una spirale monotona verso il basso potrebbe non sembrare molto realistica come soluzione, ma si tratta di un modello molto stilizzato, che fornisce tendenze essenzialmente generali in un linguaggio matematico necessariamente altamente formale. $\rho$

La parte davvero interessante inizierà se consideriamo un salario variabile . Questo può creare ogni sorta di dinamiche interessanti e complicate per il nostro piccolo imprenditore e le sue decisioni di consumo-investimento.

— Alecos Papadopoulos
fonte

Penso che la domanda chiave sia se questa azienda sia l'unica azienda dell'economia. In tal caso, non è più corretto prendere come indicato, poiché sarà influenzato dalla propria decisione di accumulazione di capitale. In questo caso dovresti fare le sostituzioni che hai fatto prima della tua equazione (2) durante l'impostazione dell'Hamiltoniano. D'altra parte se questa è una delle tante aziende, in modo che il tasso salariale sia esogeno, allora le sostituzioni prima dell'eq. (2) non sono validi. Penso che è necessario distinguere attentamente tra le big- , il capitale complessivo per l'economia, e little- capitale scelto da questo decisore. $w$ $w$ $k$ $k$

— Jyotirmoy Bhattacharya
fonte

Sto osservando rigorosamente un'unica impresa che rimane troppo piccola per influenzare l'aggregato. Quindi il tuo secondo commento è rilevante, dove dici "le sostituzioni prima delle equazioni (2) non sono valide". Non vedo perché. Puoi approfondire (preferibilmente formalmente) per favore? Grazie.

— Alecos Papadopoulos,

@AlecosPapadopoulos Penso che il problema non sia matematico ma di interpretazione. Se la mia impresa è troppo piccola per influenzare l'economia, perché dovrebbe essere il caso che o per la mia impresa indipendentemente dalla che scelgo, che sembra essere l'assunto implicito nelle sostituzioni che fai prima (2) ) e quindi differenziando l'RHS dell'equazione rispetto a .

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

k

$k$

\dot{k}

$\dot k$

k

$k$

— Jyotirmoy Bhattacharya,

@JyotirmoyBhattacharya è un risultato standard nell'assumere mercati competitivi.

— FooBar,

@FooBar In un mercato competitivo scegli e per creare e . Le condizioni non tengono in arbitraria e .

k

$k$

l

$l$

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

l

$l$

k

$k$

— Jyotirmoy Bhattacharya,

Ok, dopo tutto dovrò scrivere l'hamiltoniano e renderlo ancora più lungo.

— Alecos Papadopoulos,