Comprensione della costruzione di processi stocastici

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Ho visto processi stocastici modellati / costruiti nel modo seguente.

Considera lo spazio di probabilità e lascia che sia la trasformazione (misurabile) che utilizziamo per modellare l'evoluzione del punto campione nel tempo . Inoltre, lascia che sia il vettore casuale . Quindi, il processo stocastico viene utilizzato per modellare una sequenza di osservazioni tramite la formula o $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

Come dovrei comprendere i punti campione e la trasformazione in questa costruzione? (Potrebbe essere qualcosa di simile a una sequenza di shock in alcuni casi?) $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

Per maggiore concretezza, come scriverei questi due processi in questa notazione?

Processo 1: dove .

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

Processo 2:

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

— jmbejara
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Questa costruzione che descrivi non è del tutto generale. In effetti caratterizza serie storiche rigorosamente stazionarie. Vedi che è invariante a turni. Questo operatore è essenzialmente un operatore a turni. $S$

Per fare un confronto, ecco la solita definizione di, diciamo tempo discreto, processi:

Definizione Un processo stocastico è una sequenza di mappe misurabili di Borel su uno spazio di probabilità . $\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

Ora, per quello che stai descrivendo, hai una mappa misurabile fissa di Borel . È la misura sottostante che si evolve secondo . La mappa induce una nuova "misura push-forward" (nel linguaggio teorico-misura) su semplicemente prendendo pre-immagini: definire una misura di $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

Quindi il vettore casuale è per costruzione. Inducono la stessa misura push-forward su . Fatelo con per ogni e hai il tuo serie storiche. $X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

Per quanto riguarda la tua domanda su , l'ispezione della prova per l'altra direzione dovrebbe chiarire questo --- cioè ogni serie temporale strettamente stazionaria deve necessariamente assumere questa forma per alcuni , e . $\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

Il punto di base è che, da un punto di vista generale, un processo stocastico è una misura di probabilità sull'insieme delle sue possibili realizzazioni. Questo si vede, ad esempio, nella costruzione di Wiener del moto browniano; ha costruito una misura di probabilità su . Quindi, in generale, un è un percorso di campionamento e costituito da tutti i possibili percorsi di campionamento. $C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

Ad esempio, prendi i due processi che hai nominato sopra. Sono rigorosamente stazionari, se diciamo che le innovazioni sono gaussiane. (Qualsiasi serie temporale stazionaria basata sulla covarianza guidata dalle innovazioni gaussiane è rigorosamente stazionaria.) La costruzione inizierebbe quindi prendendo come l'insieme di tutte le sequenze, the -algebra generata da mappe coordinate e la misura appropriata. Per il processo del rumore bianco (2), è solo una misura del prodotto su un prodotto infinito. $\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

Riferimento Questa caratterizzazione / costruzione per turno di serie temporali rigorosamente stazionarie è menzionata nella teoria asintotica di White per economisti .

— Michael
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Grazie per la risposta e il riferimento. Inoltre, mi dispiace per la risposta lenta qui. Questo ha senso. Inoltre, solo per citare, secondo il riferimento (il libro di White) mi sembra che questa costruzione consenta processi non stazionari. Def. 3.27 definisce una trasformazione siano misura preservare se per tutti . Quindi, Prop. 3.29 afferma che se sta preservando la misura, allora il processo è stazionario.

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

— jmbejara,

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@jmbejara Sì, buon punto. In realtà è del tutto generale --- scegliendo per essere lo spazio dei percorsi canonici ( ), un prodotto infinito --- e definire come lo spostamento, ogni legge delle serie temporali può essere realizzata in tale forma.

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

— Michael,

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È possibile considerare i casi di come un punto nello spazio dimensionale infetto, ad es. Sequenza di shock, ma tale interpretazione sarebbe improduttiva, in quanto non si otterrebbero semplificazioni rispetto alla specifica diretta del processo sullo spazio di probabilità filtrato e solo prodotto entità aggiuntive indesiderate per complicare le cose. $\omega$

Questo approccio è molto più adatto per le applicazioni ai punti nello spazio dimensionale finito. Quindi con questo approccio costruirai un processo Markov omogeneo nel tempo e sarà interpretato come un punto nel suo spazio di stato, diciamo, posizione corrente del processo o diverse ultime posizioni. Le considerazioni sull'interpretazione di S saranno posticipate fino a quando non saranno discussi esempi. $\omega$

Quindi presumo che sia una sequenza iid di variabili casuali sullo spazio di probabilità definito nella domanda. Quindi il secondo processo può essere definito come segue: $\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$ L'indice superiore qui indica un'applicazione multipla dell'operatore.

Il primo esempio è un'elaborazione sul primo:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$ L'indice inferiore indica qui il rispettivo componente del vettore corrispondente.

Come abbiamo visto, l'operazione S stessa è piuttosto ambigua e difficile da interpretare ragionevolmente. Il punto da notare, tuttavia, è che definisce la misura preservando la trasformazione e prendendo un'immagine sotto di essa produce l'insieme con la stessa misura. Quindi questa funzione dinamica di misura nel nostro spazio di stato nel tempo.

— Nikita Toropov
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Sta solo pensando a come deterministico e come non osservabile. Quindi osserviamo come una forma di informazione incompleta su . e ci aiutano quindi a dedurre una distribuzione di probabilità congiunta su . $\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

— Pat W.
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