I monopoli sono solo un malinteso matematico

Un piccolo grattacapo (e un buon esempio del perché dovremmo stare attenti con la notazione).

Considera un monopolio che massimizza il profitto, che risolve il prezzo

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

Seguendo i passaggi di routine ( vedi questo post )

arriviamo al risultato importante che, al prezzo che massimizza il profitto, l'elasticità del prezzo della domanda dovrebbe essere superiore a $1$ in termini assoluti o inferiore a $-1$ in termini algebrici. Vale a dire al prezzo che massimizza il profitto che abbiamo

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

Ma $\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$ è la derivata di $PQ(P)$ e $PQ(P) = TR$ , Total Revenue. Quindi $\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$ , Marginal Revenue e lo abbiamo appena ottenuto al prezzo di massimizzazione del profitto e per avere un'elasticità maggiore di $1$ in termini assoluti, dobbiamo avere $MR^* <0$ .

Ma ora anche che nel punto di massimizzazione del profitto abbiamo $MR^*=MC^*>0$ .

Quindi non esiste una soluzione, e quindi concludiamo che i monopoli sono solo un malinteso matematico.

Ora, sono andato nei guai (?) Per scrivere questo post ironico, spero che qualcuno andrà nei pochi dozzine di secondi necessari per scrivere una risposta chiara per indicare dove sta il trucco.

$PQ(P)=TR$ , entrate totali.

$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$ è la derivata di rispetto a .$PQ(P)$ $P$

$MR$ , marginale entrate, è la derivata di rispetto a .$TR$ $Q$

Quindi in generale$\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

Per integrare la risposta puntuale di @AdamBailey, lo scopo di questo post era di avvisare i lettori interessati delle conseguenze del cambiamento delle variabili decisionali nel nostro modo di pensare.

Siamo abituati a pensare alla domanda come "prezzo dipendente dalla quantità" o "quantità dipendente dal prezzo". Ma dal lato dei costi di produzione, tendiamo automaticamente a pensare al costo in base alla quantità, non al prezzo di vendita.

Pertanto, essere anche un po 'noiosamente espliciti con la notazione paga (chiedi ai ragazzi di ottimizzare il dinamico, ad esempio il libro di Caputo ). Nell'esempio specifico, i simboli , , , non rivelano la variabile di decisione, ed è qui che si è basato lo stratagemma. Ma se abbiamo scritto$TR$$MR$$MC$

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

segnaleremmo chiaramente che la nostra variabile decisionale finale è il prezzo, e così

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

mentre lo vedremmo chiaramente

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

e in modo che il requisito sull'elasticità della domanda in termini di prezzo porti a

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

(poiché ). Quindi, nel punto ottimale, le entrate marginali rispetto alla quantità dovrebbero essere positive, mentre le entrate marginali rispetto al prezzo dovrebbero essere negative.$\frac {\partial Q}{\partial P} <0$