Se l'utilità (diretta) è concava in tutti i beni, l'utilità indiretta è necessariamente concava nella ricchezza?

Supponiamo che l'utilità diretta $ u (x_1, ..., x_n) $ sia concava in ciascuno dei suoi argomenti. Ciò implica che l'utilità indiretta $ U (w, p) $ è concava rispetto a $ w $? Se tutti i prodotti sono normali, questo può essere dimostrato. per esempio. usando i moltiplicatori di Lagrange. Ma è vero in generale?

Si può supporre che $ u $ sia differenziale quante volte è necessario.

Grazie.

microeconomics consumer-theory

— user154729
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Risposte:

La tua affermazione non sembra essere vera anche per le merci normali. Un controesempio: $$ U (x_1, x_2) = (x_1x_2) ^ {\ frac {2} {3}} $$ Dalla proprietà Cobb-Douglas il pacchetto ottimale dato $ w, p $ è $$ (x_1, x_2) = \ left (\ frac {w} {2p_1}, \ frac {w} {2p_2} \ right), $$ quindi entrambi i prodotti sono normali. L'utilità indiretta è $$ U (w, p) = \ left (\ frac {1} {4p_1p_2} \ right) ^ {\ frac {2} {3}} w ^ {\ frac {4} {3}}. $$ Qui $ w $ viene elevato a una potenza superiore a 1 quindi $ U (w, p) $ è convesso in $ w $.

— denesp
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Potrebbe valere la pena sottolineare che questo è dovuto almeno in parte alla scelta della rappresentazione dell'utilità. La funzione di utilità $ \ hat {U} (x_1, x_2) = (x_1 x_2) ^ {1/2} $ rappresenta le stesse preferenze, ma ha un'utilità indiretta lineare in $ w $.

— Theoretical Economist

@Economista teorico Sì, ma si noti anche che la scelta della rappresentazione dell'utilità non è completamente gratuita. Quello è $ U (x_1, x_2) = x_1 ^ 2x_2 ^ 2 $ non è un buon controesempio, perché sebbene abbia ovviamente una funzione di utilità indiretta convessa, non è concavo nelle merci individualmente. Quindi lo spazio di rappresentazione era un po 'limitato e la mia scelta era entro i limiti. La domanda inversa di "Se la funzione di utilità indiretta è concava in reddito, esiste sempre una rappresentazione concava individualmente nella funzione di utilità delle merci?" è interessante.

— denesp

Domanda: se $ u $ è concavo (come funzione multidimensionale), garantisce che l'utilità indiretta sia concava? Penso sia vero, ma mi sbaglio ancora?

— user154729

La mia dimostrazione è la seguente: Sia $ x ^ * (w) $ l'allocazione ottimale al budget $ w $. Valuta i budget $ w _- & lt; w _ + $. Quindi, al budget $ w_ {1/2} = (w _- + w _ +) / 2 $, le allocazioni $ x ^ * (w _-) / 2 + x ^ * (w _ +) / 2 $ è un'allocazione fattibile . Quindi, $ U (w_ {1/2}) \ geq u (x ^ * (w _-) / 2 + x ^ * (w _ +) / 2) \ geq u (x ^ * (w _-)) / 2 + u (x ^ * (w _ +)) / 2 = U (w _-) / 2 + U (w _ +) / 2 $, dove la seconda disuguaglianza è per concavità di $ u $. È corretto?

— user154729

@denesp Alla tua domanda "Se la funzione di utilità indiretta è concava in reddito, esiste sempre una rappresentazione concava individualmente nella funzione di utilità delle merci?". Mi sembra che l'utilità concava indiretta dica solo qualcosa sulla struttura dell'utilità attorno al percorso di allocazione ottimale. Lontano da questo percorso, l'utilità può comportarsi in modo arbitrario, purché non fornisca un'allocazione ottimale. Quindi, mi sembra che sarebbe difficile concludere qualsiasi tipo di concavità globale dalla concavità dell'utilità indiretta.

— user154729

Potrebbe valere la pena affermare che: i f $ u $ è concavo (come funzione multidimensionale), produrrà una funzione di utilità indiretta concava in $ m $.

Se $ u: \ mathbb {R} ^ n _ + \ rightarrow \ mathbb {R} $ è concava, quindi funzione di utilità indiretta $ v: \ mathbb {R} ^ n_ + \ times \ mathbb {R} _ + \ rightarrow \ mathbb {R} $ definito come $ v (p, m): = \ displaystyle \ max_ {x \ in B (p, m)} u (x) $ è anche concavo in $ m $. Qui $ B (p, m) = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n_ +: p \ cdot x \ leq m \} $ è il budget impostato. Sia $ x ^ d (p, m) $ denota la soluzione al problema di massimizzazione $ \ displaystyle \ max_ {x \ in B (p, m)} u (x) $ in modo che $ v (p, m) = u (x ^ d (p, m)) $.

Considera arbitrari $ m '$, $ m' '$ e $ \ lambda \ in [0, 1] $,

$ p \ cdot x ^ d (p, m ') \ leq m' $

$ p \ cdot x ^ d (p, m '') \ leq m '' $

Perciò,

$ p \ cdot (\ lambda x ^ d (p, m ') + (1- \ lambda) x ^ d (p, m' ')) \ leq \ lambda m' + (1- \ lambda) m '' \ tag {1} $

Di conseguenza, \ begin {eqnarray *} v (p, \ lambda m '+ (1- \ lambda) m' ') & amp; = & amp; u (x ^ d (p, \ lambda m '+ (1- \ lambda) m' ')) & amp; \\ & amp; \ geq & amp; u (\ lambda x ^ d (p, m ') + (1- \ lambda) x ^ d (p, m' ')) & amp; \ \ [di \ (1)] \\ & amp; \ geq & amp; \ lambda u (x ^ d (p, m ')) + (1- \ lambda) u (x ^ d (p, m' ')) & amp; \ \ [di \ \ text {concavità di} u] \\ & amp; = & amp; \ lambda v (p, m ') + (1- \ lambda) v (p, m' ') & amp; \ End {eqnarray *}

— Amit
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