u1 (x1, y1) = max (x1, y1) ω1 = (0.2,0.2);
u2 (x2, y2) = min (x2, y2) ω2 = (0.8,0.8)

Le funzioni di utilità per due individui e le loro dotazioni sono date sopra per una buona economia per due persone. La mia domanda è: esiste un vettore competitivo dei prezzi che dia origine a un equilibrio competitivo nell'economia? Ho usato l'analisi della scatola di Edgeworth e ho determinato che le curve di indifferenza per entrambi gli individui coincideranno completamente e saranno a forma di L per l'individuo 2 e una forma a L invertita per l'individuo 1. Tuttavia, l'individuo 1 cercherà sempre un confine ottimale mentre l'ottimale per l'individuo 2 sarà alla piega della curva di indifferenza a forma di L.

Ho supposto che il buon 2 fosse il numeraire buono con price = 1, e ho ipotizzato che il prezzo del buono 1 sia semplicemente p. Quindi reddito dell'individuo 1 = 0,2p + 0,2 e reddito dell'individuo 2 = 0,8p + 0,8. Ho anche ispezionato tre casi

CASO 1

Quando p> 1. La domanda di 1 buono per il singolo 1 sarà zero, perché il 2 buono è più economico. Richiesta di 1 buono per individuo 2 = (0,8p + 0,8) / (1 + p). Ho equiparato domanda e offerta e ho scoperto che il prezzo stava uscendo per essere negativo, il che è impossibile, quindi ho escluso questo caso.

CASO 2

Quando p <1. Domanda di buono 1 per singolo 1 = (0,2p + 0,2) / p e per singolo 2 = (0,8p + 0,8) / (1 + p). Ho equiparato domanda e offerta e ho scoperto che il prezzo stava uscendo per essere negativo, il che è impossibile, quindi ho escluso anche questo caso.

CASO 3

Quando p = 1. L'individuo 1 richiederà zero unità o tutte le 0,4 unità che può permettersi a quel prezzo. La domanda dell'individuo 2, nel frattempo, sarà di 0,8 unità del buon 1. Mi sono bloccato qui. Sembra che non esista un equilibrio competitivo. Sbaglio da qualche parte?

In effetti, non esiste un eq competitivo. Vedere questa analisi caso per caso è il modo migliore per procedere.

Se uno dei due prezzi è 0, il consumatore 1 richiederà un importo infinito, i mercati non verranno cancellati. Se i prezzi sono entrambi positivi, il consumatore 1 richiederà sempre e solo 1 dei 2 beni. Ma il consumatore 2 richiede una quantità uguale di ogni bene in tali casi. Nessuna allocazione è compatibile con entrambe queste esigenze.

L'errore sta nel fatto che le funzioni della domanda (in particolare del consumatore 1) non sono continue. Ciò accade perché 1 ha una funzione di utilità convessa.