Come derivare una strategia pura di equilibrio di Nash in un modello lineare di Cournot [duplicato]

Supponiamo che ci siano aziende $ N ciascuna con lo stesso costo marginale positivo $ c $. Come potrei fare per trovare una pura strategia Nash Equilibrium per le aziende? Supponiamo che la curva di domanda inversa sia definita: $ p = a-Q $ con $ Q $ come output di mercato.

• impresa $ i $ in uscita: $ q_i $
• output totale: $ Q = q_1 + \ ldots + q_n $
• tutti tranne l'output $ i $ (output di riposo): $ R_i = Q - q_i $
• costo marginale: $ c $
• funzione di domanda inversa: $ p (Q) = a - Q $

• profitto per azienda $ i $:

  $$ Profitto = Totale ricavi - Costo totale $$ $$ \ Pi_i (q_i, R_i) = p (q_i + R_i) q_i - cq_i $$

• Al massimo del profitto, la derivata dell'equazione del profitto è uguale a zero (a.k. condizione del primo ordine). Quindi prendiamo la derivata di quanto sopra rispetto a $ q_i $ tenendo costante $ R_i $ e impostandola uguale a zero:

$$ p '(R_i + q_i) q_i + p (R_i + q_i) - c = 0 $$ $$ p '(Q) q_i + p (Q) - c = 0 $$

Nota: quanto sopra è vero per tutte le ditte dato che sono simultaneamente massimizzare il profitto nel modello di Cornout.

Ora sostituisci $ p (Q) = a - Q $ e $ p '(Q) = -1 $.

$$ - q_i + a - Q - c = 0 $$

Prendiamo tutti i nostri $ Q $ su un lato dell'equazione:

$$ q_i + Q = a - c $$

Nota abbiamo equazioni $ n $ di quel modulo. Possiamo aggiungerli tutti insieme per risolvere $ Q $:

$$ \ Begin {align *} (q_1 + \ ldots + q_n) + nQ & amp; = n (a - c) \\ Q + nQ & amp; = n (a - c) \\ (n + 1) Q & amp; = n (a - c) \\ Q & amp; = {n \ over n + 1} (a - c) \ End {align *} $$

La migliore risposta per ogni singola azienda è quindi:

$$ \ Begin {align *} q_i & amp; = a - c - Q \\ & amp; = a - c - {n \ over n + 1} (a - c) \\ & amp; = \ frac {a - c} {n + 1} \ End {align *} $$