La convessità degli insiemi di produzione è necessaria per i teoremi del benessere?

Ho letto che la convessità degli insiemi di produzione (ad esempio rendimenti in scala non crescenti) non è un'assunzione necessaria per il primo teorema del benessere, ma è per il secondo teorema del benessere. Forse ho sbagliato e quello che l'autore ha effettivamente cercato di dire è che la convessità non è necessaria per l'efficienza dell'equilibrio competitivo, ma piuttosto per l'esistenza dell'equilibrio concorrenziale.

Potresti per favore elaborare dove è necessaria l'assunzione di insiemi di produzione convessi nel primo e nel secondo teorema del benessere?

— Fusscreme
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"L'autore ha effettivamente provato a dire" Potresti collegare il lavoro in cui hai letto queste dichiarazioni?

— denesp

Ho parlato male di questo. Volevo dire "forse l'autore intendeva dire che la convessità non è necessaria per l'efficienza (...)". Quindi questa era una congettura a mio nome e non una citazione.

— Fusscreme

Questo va bene. Chi è l'autore e dove possiamo leggere ciò che ha detto?

— denesp

Per esempio Tirole, pagina 6 e Nicholson et al., Pagina 350 . Non vi è alcuna affermazione che la convessità degli insiemi di produzioni non sia necessaria, ma piuttosto l'omissione implicita di questa ipotesi (verificate Wikipedia pure). Mi scuso se la mia affermazione è stata fuorviante.

— Fusscreme

La convessità del set di produzione non è davvero necessaria per la dimostrazione del primo teorema del benessere ma per la dimostrazione del secondo teorema del benessere. Tuttavia non è una condizione necessaria.

È possibile interpretarlo come un problema di esistenza. Il primo teorema del benessere riguarda tutti gli equilibri competitivi e vale in modo insignificante se non ce ne sono. Il secondo teorema del welfare, d'altra parte, afferma che per una data allocazione Pareto efficiente esiste un sistema di prezzi e una ridistribuzione delle dotazioni rispetto alla quale è un (quasi) equilibrio.

La dimostrazione standard del secondo teorema del benessere utilizza un risultato di Minkowski sulla separazione di insiemi convessi non sovrapposti da un iperpiano, ma è possibile provare una versione del secondo teorema del benessere come corollario di un'esistenza risultante da un argomento piacevole dovuto a Maskin e Roberts . L'argomento è abbastanza facile nel caso di un'economia di scambio: prendi un'allocazione Pareto efficiente come distribuzione di dotazione. Se da queste dotazioni esiste un equilibrio competitivo, ognuno finirà con qualcosa almeno altrettanto buono della loro dotazione. Dal momento che la distribuzione delle dotazioni era Pareto efficiente, nessuno può trovare qualcosa di meglio. Quindi tutti devono essere indifferenti tra il loro pacchetto di beni richiesti e la loro dotazione, quindi potrebbero anche solo richiedere la loro dotazione. L'argomento si generalizza alle economie con la produzione.

— Michael Greinecker
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La ringrazio per la risposta! Puoi spiegare che cosa intendi con "La convessità del set di produzione è (...) necessaria per la dimostrazione del secondo teorema del benessere, tuttavia non è una condizione necessaria". Non è contraddittorio? Inoltre, ciò che non capisco è se la convessità del set di produzione è irrilevante, perché i rendimenti crescenti non sono compatibili con una concorrenza perfetta? Non si dovrebbe trattare questo problema (aumentando i ritorni / convessità) nelle ipotesi dei teoremi del benessere?

— Fusscreme

La dimostrazione del secondo teorema del benessere fa uso del fatto che gli insiemi di produzione sono convessi o almeno che l'insieme di produzione aggregato è convesso (un assunto strettamente più debole). Ma questo non significa che la conclusione del secondo teorema del welfare fallisce non appena si verifica un qualche tipo di non convessità. In particolare, la convessità non è una condizione logicamente necessaria.

— Michael Greinecker

I ritorni su scala a livello globale non sono in genere compatibili con l'esistenza di un equilibrio competitivo, ma la conclusione del primo teorema del welfare è banalmente vera quando non c'è equilibrio concorrenziale. Ogni equilibrio competitivo deve essere Pareto efficiente quando non ce n'è; è solo che "ogni" non vale molto in quel caso.

— Michael Greinecker