Funzione di profitto: solo la massimizzazione delle entrate è soggetta a vincoli? in tal caso dov'è

Disclaimer: non so che mi sto confondendo con la teoria di base del prodoucer microeconomico (nota: sto guardando alcuni video di Hak Choi su YouTube), ma questo è il mio processo di pensiero generale.

$$\max\pi=py(x)-wx$$

lascia$y(x)=x^\alpha$

ne consegue che l' ottimale da tale formula è:$x^*$

$$\frac{\partial\pi}{\partial x}=p\alpha x^{\alpha-1}-w=0$$ $$x^*=\left(\frac{w}{p\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha-1}}$$

ne consegue che l'ottimo$y^*$

$$y^*=\left(\frac{w}{p\alpha}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}$$

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tuttavia, il problema della massimizzazione del profitto non è solo un problema di massimizzazione delle entrate soggetto a un vincolo?

$$\max py(x)$$ $$s.t.\bar{C}(x)=wx$$

lascia $y(x)=x^\alpha$

Ne segue che il nostro lagrangiano per questo problema è:

$$L=py(x)+\lambda(\bar{C(x)}-wx)$$

prendendo il derivato del nostro lagrangiano Rispetto a troviamo $x$

$$\frac{\partial L}{\partial x}=p\alpha x^{\alpha-1}-\lambda w=0$$

$$x^*=\left(\frac{\lambda w}{p\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha-1}}$$

segue:

$$y^*=\left(\frac{\lambda w}{p\alpha}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}$$

Trovo che ci sia molta somiglianza tra questi due problemi e anche le loro soluzioni sono molto simili. sulla base di questo motivo, chiedo, è questo un modo appropriato per risolvere l'input e fuori da un'azienda che massimizza il profitto? in tal caso cosa succede a nella funzione di profitto?$\lambda$

Il problema potrebbe essere interpretato come una massimizzazione delle entrate soggetta a una contrapposizione al budget operativo. Tuttavia, la soluzione di questo può differire dalla soluzione del problema di massimizzazione del profitto, poiché i costi non compaiono nella funzione obiettivo. qui mostrerebbe di quanto un dollaro aggiuntivo speso per i costi operativi aumenterebbe i profitti. Se è in costante aumento in l'intero budget verrà speso anche quando . Tuttavia, con un così basso un dollaro speso guadagna meno di un dollaro, quindi non dovrebbe essere speso se l'obiettivo è massimizzare i profitti.

$$\max py(x)$$ $$s.t. wx \leq \bar{C}$$ $\lambda$$y$$x$$\lambda < 1$$\lambda$

In effetti, se l'obiettivo è la massimizzazione del profitto e ci sono rendimenti decrescenti, i dollari dovrebbero essere spesi esattamente se guadagnano almeno un dollaro.

Se è strettamente crescente e strettamente concavo in e si imposta a un livello tale che la soluzione del Lagrangiano produce , allora la soluzione del problema sopra risolverà anche il problema della massimizzazione del profitto.$y(x)$$x$$\bar{C}$$\lambda = 1$

Il Lagrangiano è

$$L=py(x) - \lambda(wx - \bar{C})$$

Il sistema di equazioni che risolve il lagrangiano è

$$\begin{align*} pMP(x) -\lambda w & = 0 \\ wx - \bar{C} & = 0 \end{align*}$$

Ottenere dalla seconda equazione e collegarlo alla seconda equazione che si ha$x = \bar{C}/w$

$$\frac{p}{w}MP\left( \bar{C}/w \right) = \lambda.$$

Quindi determina . Se è impostato a un livello tale che allora la condizione del primo ordine$\bar{C}$$\lambda$$\bar{C}$$\lambda = 1$

$$pMP(x) -\lambda w = 0$$

diventa

$$pMP(x) - w = 0$$

che è anche quello che otterresti risolvendo il problema senza limiti della massimizzazione del profitto.