Asta secondo prezzo - regolazione del PDF per il prezzo di prenotazione

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La situazione:

C'è una seconda asta di prezzo con 2 giocatori. Prendi in considerazione un'asta al secondo prezzo con 2 giocatori. Loro valutazioni dell'oggetto all'asta sono e sono indipendenti e identicamente distribuite con pdf $f$ e cdf . oltre . Supponiamo che sia continuo e positivo su . $F$ $[0,\hat v]$ $f$ $[0,\hat v]$

Ora ecco la domanda: è stata implementata un'offerta di prenotazione : il vincitore paga la seconda delle offerte più alte, incluso il prezzo della prenotazione, o se entrambe le offerte sono inferiori, nessuno vince. Voglio trovare il pdf che entrambe le offerte sono al di sopra di e al di sopra di alcune e aggiungerlo a un'equazione che calcola le entrate previste per il banditore. $r$ $r$ $x$

Ho già trovato che il pdf per entrambe le offerte è superiore al valore di : . Il pdf per entrambi sopra è . $x$ $2f(x)(1-F(x))$ $r$ $(1-F(r))^2$

Ho dato un'occhiata a una risposta per il problema, e suggerisce che il pdf combinato è . Qualcuno potrebbe spiegarmi come è così? $\frac{2f(x)(1-F(x))}{(1-F(r))^2}$

Quindi, nel calcolare le entrate previste per il banditore, abbiamo nel caso in cui entrambe le offerte sono sopra : . Sono anche abbastanza confuso perché moltiplichiamo per . $r$ $(1-F(r))^2\int_r^\hat v{\frac{2f(x)(1-F(x))}{(1-F(r))^2}}dx$ $(1-F(r))^2$

auctions

— Cherefonte
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Per trovare le entrate previste del venditore in una seconda asta di prezzo con prezzo riservato composto da due offerenti che dichiarano le loro valutazioni in equilibrio, facciamo quanto segue:

Dato che le valutazioni sono coperte da pdf e CDF oltre , le entrate che il venditore ottiene per diverse realizzazioni delle valutazioni dei giocatori sono come indicato nel grafico seguente: $f$ $F$ $[0, \hat{v}]$

Pertanto, le entrate previste del venditore sono:

\begin{array}{rcl} \int_{r}^{\hat{v}} \int_{r}^{v_{2}} v_{1} f (v_{1}) f (v_{2}) d v_{1} d v_{2} + \int_{r}^{\hat{v}} \int_{v_{2}}^{\hat{v}} v_{2} f (v_{1}) f (v_{2}) d v_{1} d v_{2} \\ + \int_{0}^{r} \int_{r}^{\hat{v}} r f (v_{1}) f (v_{2}) d v_{1} d v_{2} + \int_{r}^{\hat{v}} \int_{0}^{r} r f (v_{1}) f (v_{2}) d v_{1} d v_{2} \\ = & \int_{r}^{\hat{v}} v_{1} (1 - F (v_{1})) f (v_{1}) d v_{1} + \int_{r}^{\hat{v}} v_{2} (1 - F (v_{2})) f (v_{2}) d v_{2} + 2 r F (r) (1 - F (r)) \\ = & 2 \int_{r}^{\hat{v}} v_{2} (1 - F (v_{2})) f (v_{2}) d v_{2} + 2 r F (r) (1 - F (r)) \end{array}

$\begin{eqnarray*} &&\int_r^\hat{v}\int_r^{v_2} v_1 f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 + \int_r^\hat{v}\int_{v_2}^\hat{v} v_2 f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 \\ &&+\int_0^r\int_r^\hat{v} r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 + \int_r^\hat{v}\int_0^r r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2 \\ &=& \int_r^\hat{v}v_1 (1-F(v_1))f(v_1)dv_1 + \int_r^\hat{v} v_2 (1-F(v_2))f(v_2)dv_2 + 2rF(r)(1-F(r)) \\ &=& 2\int_r^\hat{v} v_2 (1-F(v_2))f(v_2)dv_2 + 2rF(r)(1-F(r))\end{eqnarray*}$

— Amit
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$v_1$ $v_2$

P r (v_{1} > X \land v_{2} > X | r < v_{1} \land r < v_{2})

$Pr( v_1>x \land v_2>x \;|\; r<v_1 \land r<v_2)$

\frac{d (\frac{(1 - F (X))^{2}}{(1 - F (r))^{2}})}{d X} = \frac{2 f (X) (1 - F (X))}{(1 - F (r))^{2}}

$\frac{d\left( \frac{(1-F(x))^2}{(1-F(r))^2} \right)}{dx} = \frac{2f(x)(1-F(x))}{(1-F(r))^2}$

Dalle tue parole, tuttavia, si deduce che ciò che richiede è la derivazione (quindi la densità) della seguente probabilità:

P r (v_{1} > m un X (r, X) \land v_{2} > m un X (X, r))

$Pr(v_1>max(r,x) \;\land\; v_2>max(x,r))$

\frac{d ((1 - F (x))^{2})}{d x} = 2 f (x) (1 - F (x))

$\frac{d\left( (1-F(x))^2 \right)}{dx} = 2f(x)(1-F(x))$

r

$r$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

x

$x$

x

$x$

r

$r$

v_{i}

$v_i$

x

$x$

v_{i}

$v_i$

r

$r$

i = 1, 2

$i=1,2$

r

$r$ in questo caso. Ma non credo che la tua domanda lo richieda.

$v_1$ $v_2$ $x$ $r$ $v_1$ $v_2$ $r$ $\int_0^r\int_r^\hat{v} r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2$ $\int_r^\hat{v}\int_0^r r f(v_1)f(v_2)dv_1dv_2$ $2\int_r^\hat{v} v_2 (1-F(v_2))f(v_2)dv_2$ $v_2$ $x$

— Osman Bulut
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