Confronta le funzioni di utilità

Di recente mi sono iscritto a una classe di econ. Sono così perso su come dimostrare la loro uguaglianza. Come un punto di vista matematico, queste sono equazioni completamente diverse. Per favore aiuto!

u1 (x1, x2) = x1^(2/3) x2^(1/3)
u2 (x1, x2) = 4ln (x1) + 2 ln(x2) +3

Secondo la visione logica positivista della teoria delle decisioni, le funzioni di utilità sono solo descrizioni di comportamento osservabile e non hanno alcun significato intrinseco in assenza di questo vantaggio. In altre parole, $ u (x) & gt; u (y) $ indica che $ x $ sarà scelto a favore di $ y $, ma l'entità della differenza non porta informazioni aggiuntive. Se $ u (x) = 1 $ e $ u (y) = 0 $ il decisore preferisce $ x $; se $ u (x) = 10000 $ e $ u (y) = 0 $ il decisore preferisce $ x $. In entrambi i casi, possiamo trarre le stesse conclusioni.

Cosa significa questo per quanto riguarda la tua domanda? Ci dice cosa intendiamo con uguaglianza di funzioni di utilità: intendiamo che queste due funzioni differenti (quindi senza definizione uguale) rappresentano gli stessi dati osservabili. In particolare, esattamente quando $ u_1 (x) & gt; u_1 (y) $ abbiamo anche $ u_2 (x) & gt; U_2 (y) $. Come menzionato nei commenti, questo è precisamente quando possiamo comporre $ u_1 $ con una funzione strettamente crescente e far uscire $ u_2 $. (Questo perché tutto quello che ci interessa è l'ordine tra gli oggetti e le funzioni strettamente crescenti conserva ordine).

Quindi, quale potrebbe essere la nostra funzione strettamente crescente? Bene, possiamo prendere il log, in modo da ottenere $ \ frac23 ln (x_1) + \ frac13 ln (x_2) $ quindi moltiplicare per 6 e aggiungere 3 fa il trucco. Ognuno di questi era strettamente in aumento così come la composizione: $$ (x, y) \ mapsto 6 (ln (x) + ln (y)) + 3 $$ è la nostra funzione desiderata.