interpretazione intuitiva del rendimento marginale / produttività del capitale inferiore a uno

Supponiamo che tu abbia una funzione di produzione, f, e vuoi sapere come cambia l'output rispetto al capitale, tutto il resto costante (ceteris paribus), quindi vuoi conoscere la produttività marginale o il ritorno sul capitale.

Questo viene fatto prendendo la derivata parziale del capitale in uscita.

$$ \ frac {\ partial y_t} {\ partial k_t} $$

Di solito, nella maggior parte dei modelli, il risultato sarà un valore compreso tra 0 e 1. Tuttavia, questo significa che, a parità di tutte le altre variabili, per un euro in più (che viene fuori dal nulla, immagino, dato che tutte le altre variabili dovrebbero essere lo stesso: ceteris paribus condition), l'output aumenta con meno di questo euro ..., giusto? Non capisco l'intuizione che questo valore sia inferiore a uno, mi aspetto che sia superiore a uno, almeno. Voglio dire, l'80% è svanito?

Su wikipedia è definito come: Il prodotto marginale del capitale (MPK) è l'output aggiuntivo risultante, ceteris paribus ("a parità di condizioni"), dall'utilizzo di un'unità aggiuntiva di capitale fisico. Matematicamente, è la derivata parziale della funzione di produzione rispetto al capitale.

Sto avendo qualche difficoltà con il significato di "aggiuntivo" in questa definizione. Non è aggiuntivo a questo euro in più di capitale dal nulla, giusto? Questo euro è veramente trasformato solo come per es. mezzo euro in uscita: ad es. capitale +1 == & gt; uscita + 0,5.

In contrasto con questa marginale produttività del capitale, è anche possibile calcolare l'effetto parziale diretto del capitale sull'output, che ad es. perché una funzione di Cobb-Douglas è data dal parametro relativo all'elasticità (cambiamento relativo della produzione dato all'1% del capitale relativo) per il capitale (è il potere). Un altro modo per esprimere l'influenza di un cambiamento nel capitale è l'effetto completo: in alcuni modelli, anche altre variabili cambiano quando le variazioni di capitale, ad es. lavoro, tecnologia e così via, questo è chiamato il pieno effetto.

Ho appena citato questi effetti per contrastarli con il calcolo e l'interpretazione del rendimento del capitale.

Diversi pensieri in questo settore:

1) Il capitale sociale dura nel tempo. Posso scambiare 1 euro per 1 unità di capitale. Questo capitale restituisce 0,01 euro ogni periodo per sempre. Alla fine si ripaga.

2) Se si ha un incredibile alto tasso di rendimento e un tasso di sconto sufficientemente basso, si potrebbero avere percorsi di consumo divergenti, ad esempio: spendo tutti i miei soldi in capitale, ogni unità di capitale restituito \ $ 2 per il periodo successivo. Ripeto per sempre, ma non consumo mai nulla, perché ogni consumo rappresenta una perdita di \ $ 2 domani. Dopo 1000 periodi, ho un'enorme quantità di capitale ma nessun consumo.

3) Cobb-Douglass è normalizzato in modo che gli esponenti sommati a uno. Ciò ha portato a un lavoro fuori dal comune. Ha derivati:

$ MPK = \ alpha_k * (\ frac {L} {K}) ^ {1- \ alpha_k} = \ alpha_k k ^ {- (1- \ alpha_k)} $

$ MPL = (1- \ alpha_k) (\ frac {K} {L}) ^ {\ alpha_k} = (1- \ alpha_k) k ^ {\ alpha_k} $

Nello stato ottimale di lungo periodo, questi due saranno uguali.

$ \ alpha_k k ^ {- (1- \ alpha_k)} = (1- \ alpha_k) k ^ {\ alpha_k} $

$ \ alpha_k = (1- \ alpha_k) k ^ {\ alpha_k - (1- \ alpha_k)} $

$ \ alpha_k = (1- \ alpha_k) k ^ {1} $

$ k ^ {1} = \ frac {\ alpha_k} {1- \ alpha_k} $

Ricollegalo e ottieni:

$ MPL ^ {*} = \ alpha_k \ frac {\ alpha_k} {1- \ alpha_k} ^ {- (1- \ alpha_k)} $

$ MPL ^ {*} = \ alpha_k \ frac {\ alpha_k} {1- \ alpha_k} ^ {\ alpha_k-1} $

$ MPL ^ {*} = \ alpha_k \ frac {1- \ alpha_k} {\ alpha_k} * \ frac {\ alpha_k} {1- \ alpha_k} ^ {\ alpha_k} $

$ MPL ^ {*} = (1- \ alpha_k) * \ frac {\ alpha_k} {1- \ alpha_k} ^ {\ alpha_k} $

$ MPL ^ {*} = (1- \ alpha_k) * \ frac {\ alpha_k ^ {\ alpha_k}} {(1- \ alpha_k) ^ {\ alpha_k}} $

$ MPL ^ {*} = \ frac {\ alpha_k ^ {\ alpha_k}} {(1- \ alpha_k) ^ {\ alpha_k - 1}} $

$ MPL ^ {*} = \ alpha_k ^ {\ alpha_k} * (1- \ alpha_k) ^ {1- \ alpha_k} $

Sembra che sia una specie di frazione. Un rapido screenshot su Wolfram Alpha suggerisce davvero che sia così.