Trovare utilità individuale

Ci sono agenti N che vivono in un'economia con due beni, $X$ e $Y$ . Le loro preferenze sono descritte dalla seguente funzione di utilità $u(X,Y) = 2 \sqrt{XY}$ . Ogni agente è dotato di 1 unità di$X$e$y_{i}$ unità di$Y$. Ogni unità di$Y$è vende per$p$unità di$X$.

La domanda è mostrare che ogni agente ottiene un'utilità di $\frac{1 + py_{i}}{\sqrt p}$ .

Ecco cosa ho provato:

L'agente sceglie $X,Y$ per massimizzare $2\sqrt{XY}$ soggetto a$X + pY = 1 + p y_{i}$ Quindi ho espresso il vincolo di risorse in unità di$X$buona. Il LHS è ciò che l'agente può comprare e RHS è la dotazione, espressa anche in unità di$X$.

Quindi riorganizzo il vincolo in termini di $Y$ , ovvero $Y = \frac{1}{p} + y_{i} - \frac{X}{p}$ e sostituiscilo con la funzione utility, con il FOC rispetto a$X$e poi sostituisci il valore ottimale di$X$con la funzione utility per ottenere un'espressione in termini di$y_{i}$. Tuttavia, l'espressione non è ciò che dovrei ottenere.

Se qualcuno vuole controllare la mia algebra, eccolo qui:

La funzione di utilità diventa $2\sqrt {(X/p) + Xy_{i} - X^2/p}$$X$$X^* = (1/2)(1 + y_{i}p)$$2\sqrt{X^*y_{i}}$$\frac{1 + py_{i}}{\sqrt p}$

Qualche idea su dove sbaglio?

$2\sqrt{x^*y^*}$$2\sqrt{x^*y_i}$

$u(x,y)=Ax^\alpha y^\beta$$p_xx+p_yy=m$

$$\begin{equation} x^*=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{m}{p_1} \quad\text{and}\quad y^*=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\frac{m}{p_2}. \end{equation}$$

$A,\alpha,\beta,p_x,p_y,m$

$$\begin{equation} A=2,\quad\alpha=\beta=\frac12,\quad p_x=1,\quad p_y=p,\quad m=1+py_i. \end{equation}$$ $$\begin{equation} x^*=\frac{1+py_i}{2},\quad y^*=\frac{1+py_i}{2p}. \end{equation}$$ $$\begin{equation} u(x^*,y^*)=2\sqrt{\frac{1+py_i}{2}\cdot \frac{1+py_i}{2p}}=\frac{1+py_i}{\sqrt p} \end{equation}$$