Prova per omogeneità di elasticità

In tutta la letteratura microeconomica vedo la seguente restrizione posta sulla natura delle elasticità nella stima del sistema della domanda.

Essendo questo per alcuni beni arbitrari abbiamo bisogno che le elasticità dei prezzi e le elasticità del reddito siano: $x$

ε (x, p_{x}) + ε (x, p_{y}) + ε (x, I) = 0

$\varepsilon(x,p_x)+\varepsilon(x,p_y)+\varepsilon(x,I)=0$

Qual è la prova per questo? (Non riesco a trovarlo).

microeconomics consumer-theory elasticity

— EconJohn
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Intendevi l' aggregazione di Engel ?

— Herr K.

Whoops ha scritto la condizione in modo errato. Edito

— EconJohn

Si noti che la funzione di richiesta marshalliana è omogenea grado zero in (vedere qui per una prova). Secondo il teorema di Eulero per la funzione omogenea, ne consegue che Dividendo entrambi i lati per , hai $x^*(p_x,p_y,I)$ $(p_x,p_y,I)$

\frac{\partial x^{*}}{\partial p_{x}} p_{x} + \frac{\partial x^{*}}{\partial p_{y}} p_{y} + \frac{\partial x^{*}}{\partial I} I = 0 \cdot x (p_{x}, p_{y}, I) = 0

$\begin{equation} \frac{\partial x^*}{\partial p_x}p_x+\frac{\partial x^*}{\partial p_y}p_y+\frac{\partial x^*}{\partial I}I=0\cdot x(p_x,p_y,I)=0 \end{equation}$

x^{*}

$x^*$

\begin{aligned} \frac{\partial x^{*}}{\partial p_{x}} \frac{p_{x}}{x^{*}} + \frac{\partial x^{*}}{\partial p_{y}} \frac{p_{y}}{x^{*}} + \frac{\partial x^{*}}{\partial I} \frac{I}{x^{*}} & = 0 \\ ϵ_{x x} + ϵ_{x y} + ϵ_{x I} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial x^*}{\partial p_x}\frac{p_x}{x^*}+\frac{\partial x^*}{\partial p_y}\frac{p_y}{x^*}+\frac{\partial x^*}{\partial I}\frac{I}{x^*}&=0\\ \epsilon_{xx}+\epsilon_{xy}+\epsilon_{xI}&=0 \end{align}$

— Herr K.
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