Equilibrio di Nash due giocatori in un progetto congiunto

Ho un problema in cui ci sono due agenti in un progetto comune, Ogni agente $ I $ mette in atto $ X_i $ $ (0 \ leq x_i \ leq 1) $ che costano ciascuno $ c (x_i) = x_i ^ 2 $ . Il risultato del progetto è $$ f (x_1, x_2) = 3 x_1 x_2 $$

che è diviso equamente tra entrambi, indipendentemente dal loro livello di sforzo. Mi viene chiesto di formulare la situazione come un normale gioco di forme e trovare il NE.

Quello che ho fatto è che ho assunto alcuni valori per gli sforzi per valutare il gioco e ho anche massimizzato il payoff di ogni giocatore individualmente per ottenere le migliori risposte e renderle intersettiche per arrivare al NE.

1. In questa illustrazione, NE lo sono $ (0,0) $ ; $ (0,25, 0,25) $ e $ (0,5, 0,5) $

2. $ \ max f (x_1, x_2) -c_1 $ riguardo a $ X_1 $ ; rendimento: $ x_1 = (3/4) x_2 $ e $ \ max f (x_1, x_2) -c_2 $ riguardo a $ X_2 $ ; rendimento: $ x2 = (3/4) x_1 $ Entrambi i problemi di massimizzazione si intersecano quando $ x_1 = 0 = x_2 $

Ad ogni modo, non penso che questo sia il modo giusto per andare ...

In realtà sei quasi corretto. Il tuo primo approccio mostra la forma normale del gioco, ma in modo incompleto, motivo per cui trovi gli equilibri di Nash "extra". Le possibili strategie dei giocatori includono tutti i livelli di sforzo positivi non solo quelli che mostri.

Il NE (0.25; 0.25) non è in realtà un equilibrio perché entrambi i giocatori possono ridurre il loro sforzo di una piccola quantità (ma inferiore alla quantità nel gioco) aumentando il loro payoff. Ad esempio la quantità ottimale di sforzo per il giocatore 1 se il giocatore 2 usa il livello di sforzo 0,25 è 0,1875, che non è nel tuo gioco. Se il giocatore 1 sceglie un livello di sforzo di 0.1875, lo sforzo ottimale del giocatore 2 è 3/4 * 0.1875 = 0.140625. Continuando con questo ragionamento, alla fine troverai un solo NE: (0; 0) che è quello che hai identificato correttamente usando il tuo secondo approccio.